第2讲质数与完全平方数教师讲义

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1、八年级数学竞赛第二讲教师讲义八年级数学竞赛第二讲质数和完全平方数一．质数与合数一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫做质数（素数），如果能被1和本身以外的自然数整除，就叫做合数.特别注意1即不是质数也不是合数，叫做单位数.有时候质数的相反数也叫质数，合数的相反数也叫合数，不过，在本讲中，如没有特别说明，都是指正的质数和正的合数.例1.求出符合以下条件的所有质数：这样的质数既是两个质数的和，又是两个质数的差.分析：设所求质数为，因为是两个质数的和，所以必是奇数，于是必有，是奇质数；又因为是两个质数

2、的差，所以必有，是奇质数，由此看来，是三个差为2的连续奇（质）数，其中必有一个是3的倍数，而3是最小的奇质数，故.例2.（1996年希望杯初二赛题）三个质数的乘积等于这三个质数和的5倍，则.分析：，所以有一个质数是5，不妨设，于是有，得出，又，不妨设①或②.由①得，不合题意.由②得，符合题意.故所求的三个质数是5，2，7.于是.例3.质数中无最大数，也就是说，不存在最大的质数.试证之.分析：可以用反证法.若有最大的质数，设为，观察从2到的所有质数乘积加1的和式，因为质数2，3，5，…，中没有一个是的因数

3、，若是一个合数，它肯定有质因数，但不在2，3，5，…，中，故的质因数比还要大，与假设矛盾；若是一个质数，易知大于，也与假设矛盾.例4.求证：若正整数使得是一个质数，则一定是质数.八年级数学竞赛第二讲教师讲义分析：利用公式二．质因数的分解我们经常把一个大于1的整数分解为若干个质数的连乘积形式，这就是所谓的分解质因数，乘积中的每一个质数，都叫做这个整数的质因数.关于质因数分解有以下定理：算数基本定理任意一个大于1的整数都可以分解为质因数的乘积.如果不考虑这些质因数的次序，那么这种分解是唯一的.通常可以表示成

4、以下形式：在上式中，都是质数且互不相同，都是正整数.这种分解式称为正整数的标准分解式.例如540的标准分解式是.推论1如果对于大于1的整数，其标准分解式如式所示，那么共有正约数个，这些约数包括1和本身.推论2如果对于大于1的整数，其标准分解式如式所示，那么是一个完全平方数的充要条件是都是偶数，即的正约数个数是奇数.质数有如下整除性质：（1）是质数，都是整数，如果，则或，特别地时，；（2）是不同的质数，是整数，如果，，，则.例5.不大于200的正整数中，有哪些数恰好有15个不同的正约数（包括1和本身）.分

5、析：由推论1，考虑这个约数个数是怎么算来的.,因此有两种形式：或，均为质数且.对于第一个知不成立，第二个取则可取3，取则取任何质数都将超过200.例6.求和这两个积的最大公约数和最小公倍数.分析：先对两个数进行质因数分解.例7.证明在无限整数序列中没有质数.八年级数学竞赛第二讲教师讲义分析：要证明一个数为合数，即证明它有除了1和本身以外的因数，只需证明它能表示成两个大于1的整数的乘积即可，以前的专题曾经涉及到一些特别的数，比如：序列可以改写成根据例题4所用的公式知其通项为，时即10001已经不需再证，因

6、此只需证明的情况.当为偶数时，令，，则，根据公式是两个大于1的整数相乘，故为合数.当为奇数时，令，则.同样地根据公式知是两个整数的乘积.例8.求所有的质数，使得和也都是质数.分析：对此无从下手，可以先从最小的质数验算，寻找灵感.经验算，5是满足条件的一个质数.因此估计只有5是所求，从而可以将整数按照模5来分类：当时，要使其为质数，只能，而满足条件；当时，；当时，；当时，；当时，；故本题只有一解.例9.在100到200之间有3个连续的自然数，其中最小的数是3的倍数，中间的数是5的倍数，最大的数是7的倍数.

7、试求这三个数中的最大数.分析：在100到200之间能被7整除的数依次是：105，112，119，126，133，140，147，154，161，168，175，182，189，196.其中只有能被5整除，而159也能被3整除，故所求的三个数是159，160，161，最大的是161.三．完全平方数八年级数学竞赛第二讲教师讲义如果是整数，且，则称整数为完全平方数（简称平方数），平方数有以下常用性质：（1）若是整数，则平方数与之间不存在其他平方数，即两个连续平方数之间任何一个数都不是平方数；（2）平方数的末尾

8、数只能是0，1，4，5，6，9，而不能是2，3，7，8；（3）偶数的平方必是4的倍数，而奇数的平方必是8的倍数加1；（4）平方数的末尾数是奇数时，其十位数必为偶数，平方数的末尾是6时，其十位数必为奇数；（5）两个平方数的乘积还是平方数，一个平方数与一个非平方数的乘积肯定不是平方数；（6）任何平方数除以3，余数不可能是2；除以4，余数不可能是2，3；除以5，余数不可能是2，3；除以8，余数不可能是2，3，5，6，7；除以9,余数不可能是2，3