二元函数的极值与最值

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1、二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下：1．二元函数的无条件极值(1)二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。(2)二元函数取得极值的必要条件：设在点处可微分且在点处有极值，则，，即是驻点。(3)二元函数取得极值的充分条件：设在的某个领域内有连续上二阶偏导数，且，令，，，则当且A<0时，f为极大值；当且A>0，f为极小值；时，不是极值点。注意：当B2－AC=0时，函数z=f(x,y)在点可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论例

2、1求函数z=x3+y2－2xy的极值．【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【解】先求函数的一、二阶偏导数：，．,,．再求函数的驻点．令=0，=0，得方程组求得驻点(0，0)、．利用定理2对驻点进行讨论：(1)对驻点(0,0)，由于A=0,B=－2，C=2，B2－AC0,故(0,0)不是函数z=f(x,y)的极值点．(2)对驻点，由于A=4,B=－2，C=2,B2－AC=－40,且A0,则为函数的一个极小值．例2：（2004数学一）设z=z(x,y)是由确

3、定的函数，求的极值点和极值.【分析】本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。这体现了考研的基本要求。【解】因为，所以，.令得故将上式代入，可得或由于，，所以，，，故，又，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3.类似地，由，，，可知，又，从而点(-9,-3)是z(x,y)的极大值点，极大值为z(-9,-3)=-3.【评注】本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x,y,z满足原方程。2．二元函数的条件极值拉格朗日数乘法：设某领域内有连续偏导数，引入辅助函数解联立方程组得可能是在条件下的极值点

4、例3经过点的所有平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的体积最小．并求此最小体积．【分析】条件极值经常考应用题。这一点大家应引起重视。【解】设所求平面方程为．因为平面过点，所以该点坐标满足此平面方程，即有．(1)设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为V，则．　　　　　　　　　　　(2)原问题化为求目标函数（2）在约束条件（1）下的最小值．作拉格朗日函数．求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：由此方程组和（9）解得a=b=c=3．由于最小体积一定存在．又函数有惟一的驻点．故a=b=c=3为所求．即平面x+y+z=3．与坐标面在第一卦限所围物体

5、的体积最小．最小体积为例4某公司通过电台及报纸两种方式做销售广告，收入万元与电视广告费万元及报纸广告费万元之间的关系为：．⑴在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略；⑵若提供的广告费用为总额1．5万元，求相应最佳广告策略．【解】⑴利润函数为，求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：解得，．则为惟一的驻点．又由题意，可导且一定存在最大值，故最大值必在这惟一的驻点处达到．所以最大利润为万元．因此，当电视广告费与报纸广告费分别为万元和万元时，最大利润为万元，此即为最佳广告策略．⑵求广告费用为1．5万元的条件下的最佳广告策略，即为在约束条件下，求的最大值．作拉格

6、朗日函数．求函数的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：并和条件联立解得，．这是惟一的驻点，又由题意，一定存在最大值，故万元为最大值．【评注】本题也可由，解得，代入目标函数转换成一元函数求解。3．二元函数的最值二元函数的最值一定在驻点和不可导点及边界点取得。例5:（2007数学一）求函数在区域D上的最大值和最小值，其中：。【分析】由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。【详解】因为，，解方程：得开区域内的可能极值点为.其对应函数值为又当y=0时，在上的最大值为4，最小值为0.当，构造拉格朗日函数解方程组得可能极值点：，其对应函

7、数值为比较函数值，知f(x,y)在区域D上的最大值为8，最小值为0.【评注】当，代入目标函数转换成一元函数求解更简单。例3:（2005数学二）已知函数z=f(x,y)的全微分，并且f(1,1,)=2.求f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值.【解】由题设，知，，于是，且，从而，再由f(1,1)=2，得C=2,故（下略）