用基底建模向量法解决立体几何问题

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1、用基底建模向量法解决立体几何问题空间向量是高中数学新教材中一项基本内容，它的引入有利于处理立体几何问题，有利于学生克服空间想象力的障碍和空间作图的困难，有利于丰富学生的思维结构，利用空间向量的坐标运算解立体几何问题,可把抽象的几何问题转化为代数计算问题,并具有很强的规律性和可操作性,而利用空间向量的坐标运算需先建立空间直角坐标系，但建立空间直角坐标系有时要受到图形的制约,在立体几何问题中很难普遍使用，其实向量的坐标形式只是选取了特殊的基底，一般情况下,我们可以根据题意在立体几何图形中选定一个基底,然后将所需的向量用此基底表示出来,再利用向量的运算进行求

2、解或证明,这就是基底建模法.它是利用向量的非坐标形式解立体几何问题的一种有效方法。基向量法在解决立体几何的证明、求解问题中有着很特殊的妙用。空间向量基本定理及应用空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p存在惟一的有序实数组x、y、z,使p=xa+yb+zc.1、已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC.M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点.求证：OG⊥BC.例1题图【解前点津】要证OG⊥BC，只须证明即可.而要证,必须把、用一组已知的空间基向量来表示.又已知条件为∠AOB=∠BOC=

3、∠AOC,且OA=OB=OC，因此可选为已知的基向量.【规范解答】连ON由线段中点公式得：又,所以)=().因为.且，∠AOB=∠AOC.所以=0,即OG⊥BC.【解后归纳】本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力.【例2】在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角.【解前点津】利用，求出向量与的夹角〈,〉，再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角.【规范解答】因为,所以=因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，所以=0,=-a2.所以=-a2.又所以〈〉=120°.所以异面

4、直线BA1与AC所成的角为60°．【解后归纳】求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示例3：如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60º，PA⊥面ABCD，PA=AC=a,PB=PD=，点E在PD上，且PE:PD=2:1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论.解析：我们可选取作为一组空间基底【例4】证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分(此点称为四面体的重心).【规范解答】∵E,G分别为AB,AC的中点,∴EG,同理HF，∴EG

5、HF.从而四边形EGFH为平行四边形，故其对角线EF,GH相交于一点O,且O为它们的中点,连接OP,OQ.只要能证明向量=-就可以说明P,O,Q三点共线且O为PQ的中点,事实上,,而O为GH的中点,例4图∴CD,QHCD,∴∴==0.∴=,∴PQ经过O点,且O为PQ的中点.【解后归纳】本例要证明三条直线相交于一点O,我们采用的方法是先证明两条直线相交于一点,然后证明两向量共线,从而说明P、O、Q三点共线进而说明PQ直线过O点.例5．如图在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点．求证：平面EFG∥平面AB

6、1C.证明：设＝a，＝b，＝c，则＝＋＝(a＋b)，＝a＋b＝2，∴∥，＝＋＝b－c＝(b－c)，＝＋＝b－c＝2，∴∥.又∵EG与EF相交，AC与B1C相交，∴平面EFG∥平面AB1C.例6．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值．解：设＝a，＝b，＝c，则两两夹角为60°，且模均为1.(1)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.∴

7、

8、2＝(a＋b＋c)2＝

9、a

10、2＋

11、b

12、2＋

13、c

14、2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝3＋6×1×1×＝6，∴

15、

16、＝，即AC1

17、的长为.(2)＝＋＝－＋＝b－a＋c.∴·＝(b－a＋c)·(a＋b)＝a·b－a2＋a·c＋b2－a·b＋b·c＝1.

18、

19、＝＝，

20、

21、＝＝，∴cos〈，〉＝＝＝.∴BD1与AC夹角的余弦值为.14.已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且与α所成的角是30，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D之间的距离..如图，由AC⊥α，知AC⊥AB.过D作DD′⊥α，D′为垂足，则∠DBD′＝30°，〈〉＝１２０°，∴

22、CD

23、2=第17题图＝＝b2+a2+b2+2b2cos120°＝a2+b2.∴CD＝15如图所示,已知ABCD,O是平面AC外

24、的一点点,,求证:A1,B1,C1,D1四点共面.证明：∵=2=∴A1,B1,C1,D1四点共