2018年高考数学 专题26 含参不等式的存在性与恒成立问题黄金解题模板

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1、专题26含参不等式的存在性与恒成立问题【高考地位】含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势.解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题.【方法点评】方法一判别式法使用情景：含参数的二次不等式解题模板：第一步首先将所求问题转化为二次不等式；第二步运用二次函数的判别式对其进行研究讨论；第三步得出结论.例1设，当时，恒成立，求实数的取值范围.解得。综

2、上可得实数的取值范围为.【点评】一般地，对于二次函数,有1）对恒成立；2）对恒成立.例2若为二次函数，-1和3是方程的两根，.35（1）求的解析式；（2）若在区间上，不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.（2）∵在区间上，不等式有解，∴在区间上有解，故只需小于函数在区间上的最大值，由二次函数可知当时，函数取最大值5,∴实数的取值范围为考点：1、求二次函数解析式；2、不等式能成立问题.35【方法点睛】本题首先考查二次函数解析式，已知函数类型求解析式时，可以采用待定系数法，第二问考查一元二次不等式的解法，对于一元二次不等式在给定区间上有解问题，可以采用

3、分离参数法，转化为来求参数的取值范围，另外，对于不等式恒成立、能成立问题，都要寻求等价的转化关系来解题.【变式演练1】已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。【答案】.【解析】由题设可将问题转化为不等式对恒成立，即有解得,所以实数的取值范围为.【变式演练2】已知：和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；：不等式有解，若为真，为假，求的取值范围．【答案】当时，显然有解，35当时，有解，当时，∵有解，∴，∴，∴不等式有解时，∴假时的范围为，②由①②可得的取值范围为．考点：命题真假性的应用方法二分离参数法使用情景：对于变量和参数可分离的不等式解题模板：第一步首先对待

4、含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；第二步先求出含变量一边的式子的最值；第三步由此推出参数的取值范围即可得出结论.例3已知函数，若在函数定义域内恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D考点：函数的恒成立问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立的分离参数构造新函数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的思维深度，属于中

5、档试题，解答中根据函数的恒成立，利用分离参数法构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键．35含参不等式分离参数后的形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：（1）恒成立；（2）恒成立；（3）恒成立。（4）恒成立.【变式演练3】已知函数在上有意义，则的取值范围是.【答案】．【变式演练4】若关于的不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C.D．【答案】A【解析】试题分析：由题意得，因为，则，当且仅当，即时等号成立，又关于的不等式对任意实数恒成立，则，即，解得，故选A.考点：基本不等式的应用；不等式的恒成立问题.方法二函数性质法使

6、用情景：对于不能分离参数或分离参数后求最值较困难的类型解题模板：第一步首先可以把含参不等式整理成适当形式如、等；第二步从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值；第三步得出结论.35例4已知函数，其中.若在区间上，恒成立，求的取值范围.【答案】.【点评】对于不能分离参数或分离参数后求最值或确界较困难的问题，我们可以把含参不等式整理成适当形式如、等，然后从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值.在解题过程中常常要用到如下结论：（1）如果有最小值，则恒成立，恒成立；（2）如果有最大值，则恒成立，恒成立.【变式演练5】已知函数．（1）记的极小值为，求的

7、最大值；（2）若对任意实数恒有，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．35（2）当时，恒成立，当时，，即，即令，当时，，当时，，故的最小值为，所以，故实数的取值范围是，，由上面可知恒成立，故在上单调递增，所以，即的取值范围是考点：极值的概念及导数的有关知识的综合运用．【变式演练6】设函数，若时，，求的取值范围。【答案】35【点评】函数、不等式、导数既是研究的对象，又是解决问题的工具。本题抓住这一重要的解题信息，将问题转化为在时恒成立，通过研究函数在上是不减函数应满足的条件，进而求出的范围。隐含条件对解题思路的获得，起到了十分重要的导向作用.【变式演练7】已知函数．

8、（1）当时