教学设计：平面图形的镶嵌

《教学设计：平面图形的镶嵌》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、教学设计：平面图形的镶嵌一、教学目标1．会用正多边形无缝隙、不重叠地覆盖平面。2．让学生在应用已有的数学知识和能力，探索和解决镶嵌问题的过程中，感受数学知识的价值，增强应用意识，获得各种体验。二、教学活动的建议探究性活动是一种心得学习方式，它不是老师讲授、学生听讲的学习方式，而是学生自己应用已有的数学知识和能力，去探索研究生活中有趣而富有挑战问题的活动过程。建议本节教学活动采用以下形式：（1）（1）     学生自己提出研究课题；（2）（2）     学生自己设计制订活动方案；（3）（3）     操作实践；

2、（4）（4）     回顾和总结。教学活动中，教师提供必要的指点和帮助。引导学生对探究性活动进行反思，不仅关注学生是否能用已有的知识去探究和解决问题，并更多地关注学生自主探究、与他人合作的愿望和能力。三、关于镶嵌1.镶嵌，作为数学学习的一项探究性活动，主要有以下两个方面的原因：（1） 如果用“数学的眼光”观察事物，那么用正方形的地砖铺地，就是“正方形”这种几何图形可以无缝隙、不重叠地拼合。（2） “几何“中研究图形性质时，也常常要把图形拼合。比如，两个全等的直角三角形可以拼合成一个等腰三角形，或一个矩形，或一

3、个平行四边形；又如，六个全等的等边三角形可以拼合成一个正六边形，四个全等的等边三角形可以拼合成一个较大的等边三角形等。2.2.    各种平面图形能作“平面镶嵌”的必备条件，是图形拼合后同一个顶点的若干个角的和恰好等于360°。（1）用同一种正多边形镶嵌，只要正多边形内角的度数整除360°，这种正多边形就能作平面镶嵌。比如正三角形、正方形、正六边形能作平面镶嵌，而正五边形、正七边形、正八边形、正九边形、……的内角的度数都不能整除360°，所以这些正多边形都不能镶嵌。（2）用两种或三种正多边形镶嵌，详见163～

4、166页内容。（3）用一种任意的凸多边形镶嵌。从正多边形镶嵌中可以知道：只要研究任意的三角形、四边形、六边形能否作平面镶嵌，而不必考虑其他多边形能否镶嵌（这是因为：假如这类多边形能作镶嵌，那么这类正多边形必能作镶嵌，这与上面研究的结论矛盾）四、平面镶嵌中的数学问题在现实生活中，无论是室内地面的装修，还是室外地面的铺设，都涉及到了平面镶嵌的有关内容。细心的同学可以发现，它们有的是用一种多边形铺设的，有的是用两种多边形铺设的。而且都是正多边形。在利用正多边形镶嵌的时候，存在着很多的数学窍门的。根据数学中镶嵌的定义

5、，用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，形成无缝隙，不重合的全部覆盖，就是平面的镶嵌。在平面镶嵌中存在着怎样的规律呢？(1)如果用一种正多边形进行镶嵌，那么这个正多边形能够镶嵌成平面图案的前提是它的内角在拼接点能够拼成一个周角。设在一个顶点处有k个正n边形，应该满足公式k=360.∴kn-2k-2n=0即：n=2+，因为k,n都为正整数，且k,n均大于3。它的整数解只有三组k1=3k2=4k3=6n1=6n2=4n3=3即只有三种镶嵌用同一种正多边形镶嵌的时候，一个正多边形的顶点也可以落在另一个正

6、多边形的边上。如图：在现实生活中比如盖房子砌的砖，还有装修房子的地板，都是利用的这种方法的镶嵌。(2)用两种正多边形镶嵌。用两种正多边形是否能铺满平面，关键要注意两方面：一是要看能否找到所取每个正多边形的一个内角的和恰好为一个周角；二是要看几个相临顶点都要被这两种正多边形组合成周角。同时满足这两种条件，才是平面镶嵌。例如，正三角形与正方形。设在一个顶点周围有m个正三角形的角，n个正方形的角，那么这些角的和要满足方程：m•60˙+n·90°=360°.即2m+3n=12。这个方程的正整数解为m=3.n=2.即存

7、在这样的镶嵌，在它的每一个顶点周围有3个正三角形和2个正方形，如下图（1）例2：用正五边形和正十边形组合能否铺满平面？设在一个顶点周围有m个正五边形的角，n个正十边形的角，那么这些角的和要满足方程：m·108+n·144=360。这个方程的正整数解是m=2，n=1,因此会有同学回答可以铺满平面。但我们仔细观察不难发现，经过一个点A可由两个正五边形和一个正十边形组成周角360，但经过另一个相临的点B，这两个正多边形却不能组成周角360。如下图。所以说只满足一个顶点周围几个内角和满足360度也是不行的，还必须要观

8、察所有相临的点的周围的内角和是否也是360。在现实生活中也常见用三种不同的正多边形进行的镶嵌，这样的镶嵌比一种及两种的正多边形的镶嵌都要美观，但由于这种镶嵌的算法比较麻烦，所以也不用去掌握了。但镶嵌的数学问题，给世人真正的直观地感受到了数学的美，欣赏了数学的美。五、用正多边形瓷砖镶嵌地面观察一些建筑物的地面，可以发现这些地面常常是用一种或几种正多边形瓷砖铺砌而成，你知道用哪些正多边形瓷砖可以镶嵌地面