校本教材 阶梯式学习法系列教案 佘维平 邹太云

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1、北大附中云南实验学校校本教学资源阶梯式学习法课程教案（初中―高中）数学第二课堂辅导系列编写：佘维平邹太云2007..6.31阶梯式学习法精品课程数学教案·初中部分北大附中云南实验学校邹太云二○○七年六月二十七日教案编写说明：本教案针对初中数学教学过程中、以及各地中考试题中涉及到的重点和热点问题，分五个专题做了比较深入的分析和阐述，即：第一讲数与式；第二讲函数、方程、不等式；第三讲图形的运动与变换；第四讲开放与探究；第五讲概率与统计。在教案编写上，按照“点击新课标—解题策略—典例解析—课后精练”的

2、模式进行。在例题的选择上，除部分自编题外，其余大都选自近三年全国各地的中考试题。在解题思路的分析中，从寻求解决问题的“思维启动点”切入，以期达到锤炼学生数学思维品质的目的。注意到初、高中学生思维品质的差异，所以选题时在寻求初、高中学生思维的最佳契合点上下了不少功夫。在“课后精练”中，注明了该题适合的学段。第一讲数与式一、点击新课标“数”是指实数的概念和运算，“式”是指整式、分式和根式。这些内容是初中阶段“代数”的基础内容，也是新课程标准要求的基础内容。虽然新课程标准克服了过去对繁难偏旧运算的考查

3、，但对新情境下数与式的知识与方法的灵活运用的新题型考查逐步增多。二、解题策略学习本部分知识时，要努力做到概念请，方法多，技能强。运用的数学思想方法主要有代入法、消元法、换元法、分类讨论法、数形结合法等等。三、典例解析3．1常规方法透视【例1】（2005浙江台州初二、初三）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：S=……①（其中a,b,c为三角形的三边长，S为面积）。而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：S=……②

4、（其中p=）31（1）若已知三角形的三边长分别为5、7、8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试。【导析】本题以求三角形面积为线索，将我国古代数学家秦九韶的“三斜求积术”和古希腊求三角形面积的海伦公式整合在一起，先让学生分别运用，再让学生由公式①推导出公式②，这样的命题形式，不论是题目立意、情景创设，还是设问角度都非常新颖。但从考查的知识点来看，却是考查的初中阶段常规的数与式的运算能力，即乘法公式、因式分解、二次根式的运算等多个知识点。【思维启

5、动点】由p=可得：a＋b=2p－c，a＋c=2p－b，b＋c=2p－a，使用整体代入法。解：（1）S====10.又p=×(5＋7＋8)=10,S===10.（2）[a2b2－()2]=(ab＋)(ab－)=[c2－(a－b)2]·[(a＋b)2－c2]=(c＋a－b)(c－a＋b)(a＋b＋c)(a＋b－c)=(2p－2b)(2p－2a)·2p·(2p－2c)=p(p－a)(p－b)(p－c),∴=【反思提炼】在上述解答过程中，不仅考查了学生的数与式的运算能力，而且还拓展了学生的知识范围。此外

6、，引例将相关的数学知识放在一起，可以让学生体会数学知识之间的有机联系。提供数学史和我国古代数学家的研究成果的素材，既可以培养学生热爱数学的情感，又能增强学生的民族自豪感，做到了寓教于考之中。3．2特例特法点击关于数与式的运算，除须掌握常规方法外，还须留意特例特法，现举几例说明。1、反客为主，答案就“在灯火阑珊处”。【例2】（初三）已知2x=－，求（x＋）2的值。〖考查内容〗：代数式求值，一元二次方程。〖思维启动点〗本题若直接代入求值，十分繁琐。若“反客为主”，即将已知条件转化为以为主元的方程，答

7、案唾手可得。解：将已知转化为（）2－2x·－1=0,31解这个以为“未知数”的方程，得=x±，舍去负值，得=x＋，∴（x＋）2=3.〖反思提炼〗：这种解法抓住了数与式的特点，通过“反客为主”这种角色变换，利用方程思想使问题得到解决，睿智之举，十分了得。2、关注附加条件，增强解题免疫力。【例3】（初二、初三）已知a,b,c为非零实数，且满足===k，则一次函数y=kx＋(k＋1)的图象一定经过（）A、第一、二、三象限B、第二、四象限C、第一象限D、第二象限〖考查内容〗等比性质和一次函数的图象，以及

8、分类讨论的数学思想方法。〖思维启动点〗一次函数y=kx＋(k＋1)中的待定系数k隐含在一个等比的比值中，比值k如何确定？尽管题中告知a,b,c均为非零实数，但仍存在a＋b＋c=0或a＋b＋c≠0两种情况。只有后者才满足等比性质的附加条件，切记！切记！解：当a＋b＋c=0时，k===－1，这时一次函数的表达式为y=－x，它的图象在第二、四象限。当a＋b＋c≠0时，由等比性质，得k==2，这时一次函数的表达式为y=2x＋3，它的图象在第一、二、三象限。以上两种情况的公共部分是图象都经过第二象限，所以