对称思想方法佘维平.docx

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1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑•欢迎下载支持高中数学思维方法训练系列课程第5课巧用对称化繁为简对称思想方法学以致用（2课时）特级教师余维平引入：对称关系广泛存在于数学问题中，对称美是数学美的一个方面。充分利用对称原理，可使我们在解决问题时多一条有效通道，且往往能更简便地使问题得到解决。我们将从对称性应用常见的四个方面入手进行学习：1、利用关系式中字母的对称；2、利用图形的对称；3、利用其他数学情形的对称；4、利用隐含条件揭示或构造对称。对称,顾名思义，就是两个事物（或同一事物的两个方面）相对而又相称•如果A、B是具有对称性的两个事物（或同一事物的两

2、个方面）,那么把A、B交换顺序，其结果不变，这就是对称原理.在数学问题中，经常出现在某种意义下对称的形或式，如几何中的平行四边形、正柱体、正锥体、圆锥曲线；代数中的一些不等式、方程；函数f（x）与其反函数f—1（x）及它们的图象等等，不一而足，高考中这方面的问题多不胜数。充分利用好对称原理，可使我们在解决这类问题时多一条有效的通道，而且常能起到化繁为简，出奇制胜的效果。本课程旨在就对称性原理在中学数学中应用的几个方面作一些介绍，同学们自可从中体会到数学上的对称之美及对称性应用之妙。一利用关系式中变元的对称“如果一个关系式中任何两个字母互换位置后关系式不变，则称它是

3、关于这些字母的对称式，女口x2+y2=1,——等。当问题中的变元具有这种对称性，bcacba变形或运算的每一步都是对称的，则这些变元在结果中的地位也必然是对称的”.这就是1文档收集于互联网，如有不妥请联系删除•文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑•欢迎下载支持对称性原理之一。x+y+z=6①例1方程组yxy+xz+zy=11②…解的组数为()xyz=6:••…③(A)1(B)2(C)3(D)6分析与略解：显然方程组关于x、y、z对称，其结果也应关于x、y、z对称。若方程只有一组解，则必有x=y=z，此时由①有x=y=2,代入②、③皆不成立，所以(A)错。

4、若方程有两组解，则与方程组关于x、y、z具有的对称性矛盾，所以(B)也不对。若方程有三组解，则x=y^z应成立，此时由①，z=6-2x，代入②得3x2-12x+13=0,但由于△=-12V0,此方程无解，(C)也错。故应选(D)。解后反思：当x、y、z为两两不等的实数时，这三个数的每一个排列对应于这样的方程的一组解，这样的排列共6组，故方程组应有6k(k€N)组解。实际上，1、2、3的6组不同排列就分别是上述方程的6组解。222例2：a、b、c为相异正数，求证：(b-c)(b+c-a)+(c-a)(c+a-b)+(a-b)(a+b-c)>0.分析与简证：由于不等式

5、关于a、b、c具有对称性，不妨设a>b>c①当a+c-b>0时，结论显然成立②当a+c-bV0时，设b+c-a=-x，贝Ux>0,a=b+c+x222左边=(b-c)(-x)+(b-x)(2c+x)+(2b+x)(c+x)>0根据对称原理，在a、b、c的其它大小关系下，原式同样成立。3文档收集于互联网，如有不妥请联系删除结论得证。3文档收集于互联网，如有不妥请联系删除文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑•欢迎下载支持.7文档收集于互联网，如有不妥请联系删除文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑•欢迎下载支持.解后反思：可见在解题的过程中如果注意到

6、对称性并且恰当地利用对称性，则可以减少一些繁琐的计算，使解题方法简洁明快，提高解题效率，达到事半功倍的效果。例3:已知xi>0(i=1、2n)且X1+X2++Xn=n，求sinxi+sinx2++sinxn的最大值。分析与略解：显然式子关于xi、X2Xn对称，观察sinxi+sinx2可知：因为sinxi+sinx2=2sin■x——x2•cosxi——x2只有在Xi=X时才能取得最大值，即22当X丰Xz时，sinxi+sinx2不可能取得最大值，所以由对称性知，在Xi、X2Xn中，只要有两数不等，sinxi+sinx2++sinxn就不会取得最大值，所以当Xi=

7、%==X时，sinxi+sinx2++sinxn有最大值nsin—。n解后反思：利用对称性，把多个变元的问题化为两个变元的问题来讨论，从而达到化繁为简的目的。利用图形的对称例4：奇函数f(x)在R+上是增函数，且经过点(—3,0),则xf(x)<0的解是分析与略解根据奇函数图象关于原点对称的性质,如图作出满足条件的一个奇函数的图象，从图中不难看出满足条件(x、f(x)异号)的解是x(-3,0)(0,3)。反思提炼：解答之直观简捷实在令人大快朵颐！且这类问题真是多不胜数，尤其在高考小题中，我们只要充分利用好对称图形的特点，数形结合，就能达到愉快的彼岸。例5:在单位正

8、方体ABC