动态杨氏模量的测量

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1、动态法弹性模量测定实验讲义弹性模量包含扬氏模量（E）和切变模量（G）。连同泊松比（μ）共称弹性系数。这三个系数由方程μ=2G/E-1所联系，故只要测出其中任意二个系数，第三个系数即能推出。弹性模量是反映材料抵抗形变的能力、也是进行热应力计算，防热和隔热层计算，选用构件材料的主要依据。精确测试弹性模量对强度理论和工程技术都具有重要意义。弹性模量测定方法共有三类：一、静态法（拉伸、扭转、弯曲）：该法通常适用于金属试样、在大形变及常温下测定。该法载荷大，加载速度慢并伴有弛豫过程、对脆性材料（石墨、玻璃、陶瓷）不适用、也不能完成高温状态下测定；二是波传播法（含连续波及脉冲波法），该法所用设备虽较复杂，

2、在室温下很好用，但因换能器转变温度低及切变换能器价格昂贵，不易获得而受限制；三、动态法（又称共振法、声频法）：包括：弯曲（横向）共振、纵向共振以及扭转共振法，其中弯曲共振法由于其设备精确易得，理论同实践吻合度好，适用各种金属及非金属（脆性材料）以及测定温度能在180℃~3000℃左右进行而为众多国家采用，美、日、我国均制定了国家标准，美国标准号为：ASTMC623-71，日本标准号为：JISA1127-1976，我国从1979年至今已发布三个国家标准，分别是GB1586-79、GB2105-80和GB/T2105-91。本实验就是采用动态弯曲共振法测定弹性模量。一、实验目的及要求：1．1：了解

3、用动态法测定弹性模量的原理，掌握实验方法；1．2：掌握外推法，会根据不同径长比进行修正，正确处理实验数据；1．3：掌握判别真假共振的基本方法及实验误差的计算；1．4：了解压电体、热电偶的功能、熟悉信号源及示波器和温控器的使用。1．5：培养综合使用知识和实验仪器的能力。二、实验原理：2．1：对一长度》直径d条件下的细长棒，当其作微小横振动（又叫弯曲振动）时，其振动方程为：…………（1）式中Y为竖直方向位移，长棒的轴线方向为X，E为试棒的扬氏模量、ρ为材料密度、S为棒横截面、I为其截面的惯性矩、。用分离变量法求方程（1）的解，令……（2）代入（1）有该等式两边分别是变量x和t的函数，这只有都等于一

4、个任意常数时才有可能、设为K4，于是有；11设棒中各点均作谐振动，这二个线性常微分方程的通解为：；由（2）横振动方程的通解为：式中…………（3）该式通称频率公式推论证明、该式对于任意形状截面，不同边界条件下都是成立的，故我们只要用特定的边界条件下定出常数K，代入特定截面的惯性矩，就可得到具体条件下的计算公式。如将棒悬挂（或支撑）在节点（即处于共振状态时棒上位移恒等于零的位置），此时，边界条件为二端横向作用力及力矩均为零，即：；及即：，，，，将通解代入边界条件得到：可用数值解法求得本征值K和棒长应满足：0，4.730，7.583，10.966，14.137……式中的根对应于静止状态、故将第二个根

5、作为第一个根记作，一般将K1对应的频率叫基频，此时棒上波形分布如图1的左部，而K2=7.853叫一次谐波。对应的波形分布如图1的右部，由图可见，试棒作基频振动时有二个节点、其位置距端面分别为0.224和0.776。而对一次谐波（K2）共有三个节点、其位置分别在0.132、0.5和0.868。实验证明:棒上振动分布确实如此。1表1振动级次—节点位置---频率比表中L为杆的长度。级次n基频n=1一次谐波n=2二次谐波n=311节点数节点位置20.2240.77630.1320.5020.86840.0940.3560.6440.906频率比F1f2=2.76f1f3=5.40f10.2240.50

6、.776当d=8mm，=180mm时f2=2.74f1（修正值）我们将第一个本征值K1=4.730/代入频率公式（3）可得到自由振动时的固有频率。基频：因对圆形棒有：整理后E（圆）=1.6067·………………(3)同理对b为宽度、h为厚度的矩形棒有：E（矩）=……………(4)也能推出上述试样切变模量与共振频率关系：G圆杆…………………(5)G矩形…………………(6)式中：长度、直径d、宽b、厚h等几何尺寸均以m为单位，质量m以Kg为单位，频率f以Hz为单位，计算出弹性模量单位。2．2：悬挂方式：（图2）11图2是常用机械耦合法中的悬丝耦合方式，无论采用图中哪一种悬挂方法都能满足一次悬吊试样后可

7、相继测出弯曲共振和扭转共振频率的需要，对圆杆，管状试样采用b方式更好，如只测试样的杨氏模量，建议使二根悬丝与试样中轴线处于同一截面内。可以推出，对一般金属材料几何尺寸为Ф5×150毫米或Ф6×180毫米对2.5×150毫米的矩形杆注：共振频率f和固有频率f0是相关的二个不同概念，其关系为：固有=共振式中Q值远大于30,由上式可知以f共振代替f固有所导致的偏差不会大于0.03%，故我们通常忽略两者差