高二二项式定理(理科)

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1、年级高二学科数学内容标题二项式定理（理科）编稿老师胡居化一、教学目标1.理解二项式定理的内容及其通项公式的概念，掌握二项式定理的应用.2.理解二项式系数与展开式中某项系数的区别，掌握二项式系数的性质及其简单的应用.3.理解方程的数学思想、转化的数学思想及赋值法等数学思想方法的应用.二、知识要点分析1.二项式定理：这个公式表示的规律叫二项式定理.（1）二项式的展开式的特点：（i）展开式共有n+1项；（ii）各项的次数之和等于n；（iii）a的次数由n降到0，b的次数由0升到n.（2）二项展开式的系数：）（3）二项展开式的通项公式：，

2、r=0，1，2，表示二项展开式的第（r+1）项.注：（i）二项式的展开式的第（r+1）项与二项展开式（b+a）n的第（r+1）项是有区别的，应用时a，b不能随便交换.（ii）二项展开式的系数与展开式中的对应项的系数不一定相等，二项式系数恒为正.而某项的系数可以是任意的实数.（iii）二项式的展开式的通项公式是，各项的二项式系数是，各项的系数是2.二项式定理的应用：（1）进行近似计算；（2）证明整除或求余数问题；（3）证明有关的不等式.3.二项式系数的性质：（1）（组合性质（2）的体现）.（2）（与首末两端等距离的两项的二项式系数相

3、等），即对称性.（3）增减性：当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的.（4）最大二项式系数：当n是偶数时，n+1是奇数，展开式共有（n+1第8页版权所有不得复制）项，故展开式中间一项的二项式系数最大，即第（项的二项式系数最大.最大的二项式系数是；当n为奇数时，（n+1）是偶数，共有（n+1）项，故中间有两项，即第的二项式系数最大，这两项的二项式的系数相等且最大，为.（5）二项式的系数和是，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即.二项展开式的各项系数和：一般的，设f（x）=的各项的系数和是f（1），其中

4、x的奇次项系数和等于；x的偶次项系数和等于.【典型例题】知识点一：二项式定理及其简单应用.例1.展开式中的常数项是（）A.－1320B.1320C.－220D.220【题意分析】本题是利用二项式定理求二项展开式中的某项问题，即通项公式的应用.【思路分析】可设第（r+1）项是常数项，利用通项公式及x的次数是零确定r的值，即可确定常数项.【解题步骤】设第（r+1）项是常数项，则，故第10项是常数项.，选C【解题后的思考】关于利用二项式定理求二项展开式中的某项或某项的系数问题，是二项展开式的通项公式的应用，一般设第（r+1）项是要求的项

5、.根据要求确定r的值，即可确定要求的项.易错点：把通项公式中的第（r+1）项误认为是第r项.例2.利用二项式定理解决下列问题求：（1）（x3－）5的展开式中x5的系数；（2）在的展开式中，系数为有理数的项的个数.【题意分析】这两道试题都是二项展开式中的通项公式的应用.【思路分析】（1）假设第（r+1）项是展开式中含的项，根据x的次数是5确定r的值.第8页版权所有不得复制（2）假设第（r+1）项是有理项，根据通项公式中的各个因数的次数都是整数确定r的取值个数，从而确定有理项的个数.【解题步骤】（1）假设第（r+1）项是展开式中含的项

6、，则Tr＋1＝，依题意15－5r＝5，解得r＝2，故（－2）2＝40为所求x5的系数.（2）假设第（r+1）项是展开式中的有理项，则Tr＋1＝，要使x的系数为有理数，指数50－与都必须是整数，因此r应是6的倍数，即r＝6k（k∈Z），又0≤6k≤100，解得0≤k≤16（k∈Z），∴x的系数为有理数的项共有17项..【解题后的思考】求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r的值或取值范围.应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分.易错点是：在通项公式中漏掉.例3.（1）求证：能被64整除（2）求证

7、：【题意分析】本题是应用二项式定理证明整除问题和证明不等式问题.【思路分析】（1）将已知含有n的式子中的进行变形，即，然后用二项式定理展开.（2），把用二项式定理展开.【解题步骤】证明：（1）＝＝＝3＝3＝3故原式可被64整除.（2）第8页版权所有不得复制故原不等式成立.【解题后的思考】利用二项式定理证明整除问题时关键是找除数或其倍数的因式，要对已知的式子变形（如）利用二项式定理展开含有除数或除数的倍数的式子或数.证明不等式问题也同样要对已知的不等式进行等价变形，目的是为使用二项式定理创造条件，体现了等价转化的数学思想的应用.【小

8、结】本题组主要是二项式定理的通项公式的应用及利用二项式定理证明整除问题或证明不等式.在通项公式的应用过程中，注意它是第（r+1）项而不是第r项.在证明整除或不等式问题时要对含有n的式子变形为利用二项式定理提供条件.知识点二：求特定项的系数及二项式系