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《专题八二项式定理与数学归纳法（理科）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、江苏新高考本部分内容在高考中基本年年都考，并以压轴题形式考查.2012,2013年主要考查组合计数；2014年考复合函数求导和数学归纳法；2015年考查计数原理为主，又涉及到数学归纳法；2016年考查组合数及其性质等基础知识，考查考生的运算求解能力和推理论证能力；2017年考查概率分布与期望及组合数的性质，既考查运算能力，又考查思维能力.近年高考对组合数的性质要求较高，常与数列.函数.不等式.数学归纳法等知识交汇考查.计数原理与二项式定理(能力课)［常考题型突破］计数原理的应用［例1］一个非空集合中的各个元素之和是3的倍数，则称该集合为“好
2、集”.记集合｛1,2,3,…，3几｝的子集中所有“好集”的个数为/(〃)・(1)求/U),爪2)的值;(2)求加)的表达式.［解］⑴①当"=1时，集合｛1,2,3｝中的一元好集有｛3｝,共1个；二元好集有｛1,2｝,共1个；三元好集有{1,2,3},共1个，所以/U)=l+1+1=3・②当n=2时，集合{1,2,3,4,5,6}中一元好集有{3},{6},共2个；二元好集有{1,2},{1,5},{2,4},{3,6},{4,5},共5个；三元好集有{1,2,3},{1,2,6},{1,3,5},{1,5,6},{4,2,3},{4,2,6
3、},{4,3,5},{4,5,6},共8个;四元好集有{3,4,5,6},{2,3,4,6},{1,3,5,6},{1,2,3,6},{1,2,4,5},共5个;五元好集有{1,2,4,5,6},{1,2,3,4,5}共2个，还有一个全集.故/(2)=l+(2+5)X2+8=23・(2)首先考虑f(n+l)与/U)的关系.集合｛1,2,3,…，3禺3〃+1,3〃+2,3〃+3｝在集合｛1,2,3,…，3兄｝中加入3个元素3卄1,3〃+2,3〃+3・故几2+1)的组成有以下几部分：①原来的/(死)个集合；②含有元素3〃+1的“好集”是｛1,2
4、,3,…，3〃｝中各元素之和被3除余2的集合，含有元素是3n+2的“好集”是｛1,2,3,…，3引中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n+3的“好集”是｛1,2,3,…，3引中各元素之和被3除余0的集合.合计是2化③含有元素是3〃+1与3舁+2的“好集”是｛1,2,3,…，3〃｝中各元素之和被3除余0的集合，含有元素是3n+2与3畀+3的“好集”是｛1,2,3,…，3耐中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3//+1与3畀+3的“好集”是｛1,2,3,…，3耐中各元素之和被3除余2的集合.合计是2叫④含有元素是3〃+1,3〃+2,3
5、〃+3的“好集”是｛1,2,3,…，3川中“好集”与它的并,再加上｛3〃+1,3〃+2,3兀+3｝•所以f(n+l)=2f(n)+2X23n+l.两边同除以2"+】,所以^^=4"T+4"T4+寺+^r*+扌=43】+心2).又夢也符合上式,所以f(n)=—+2"—1.［方法归纳］(1)深化对两个计数原理的认识，培养“全局分类”和“局部分步”的意识，并在操作中确保：①分类不重不漏；②分步要使各步具有连续性和独立性.解决计数应用题的基本思想是“化归”，即由实际问题建立组合模型，再由组合数公式来计算其结果，从而解决实际问题.(2)本题是有关数论
6、问题，其难度较大，求解关键是得出与的关系，求解中用到归纳法和分类讨论思想.［变式训练］(2017-苏北三市三棋)已知集合U=｛1,2,…，川仇EN”，,&2),对于集合U的两个非空子集A,B,若AD〃=0,则称(A,⑵为集合U的一组“互斥子集”.记集合〃的所有“互斥子集”的组数为人死)(视(A,⑵与(B,A)为同一组“互斥子集”).⑴写出用),用),/(4)的值；(2)求爪/1)・解：(1)A2)=1,/13)=6,爪4)=25・⑵法一:设集合A中有R个元素，k=l,2,3,•••,n—.则与集合A互斥的非空子集有2n~k-l个.[/＞一
7、1[〃一1〃一1于是紗宀一1)=却工C他小一工暁・^=1厶A=1k=l因为'£cj；2"7=XCj2w_A-c!：2w-a20=(2+l)w-2/r-l=3H-2w-l,k=l&=0所以.心)=*[(3"—2"—1)一(2"—2)]=舟(3"—2小+1)・法二：任意一个元素只能在集合A,B,C=Ct＜AUB)之一中,则这〃个元素在集合A,B,C中，共有3"种，其中A为空集的种数为2",B为空集的种数为2",所以4,〃均为非空子集的种数为3"-2X2"+l・又(A,〃)与(B,A)为同一组“互斥子集”，所以刃＞)=*3"一2"+1+1)・题型
8、二7二项式定理的应用[例2](2017-苏北四市期末)已知等式(1+兀戶1=(1+兀)“t(1+兀)(1)求(1+*)2"T的展开式中含工”的项的系数，并化简：C〉c；+CLCT
