应力状态和强度理论

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1、第八章应力状态和强度理论§8−1概述对于轴向拉压和平面弯曲中的正应力，将其与材料在轴向拉伸（压缩）时的许用应力相比较来建立强度条件。同样，对于圆杆扭转和平面弯曲中的切应力，由于杆件危险点处横截面上切应力的最大值，且处于纯剪切应力状态，故可将其与材料在纯剪切下的许用应力相比较来建立强度条件。构件的强度条件为式中，工作应力σmax或τmax由相关的应力公式计算；材料的许用应力［σ］或［τ］，应用直接试验的方法（如拉伸试验或扭转试验），测得材料相应的极限应力并除以安全因数来求得。但是，在一般情况下，受力构件内的一点处既有正应力，又有切应力，这时，一

2、方面要研究通过该点各不同方位截面上应力的变化规律，从而确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在截面的方位。受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点处的应力状态。另一方面，由于该点处的应力状态较为复杂，而应力的组合形式又有无限多的可能性，因此，就不可能用直接试验的方法来确定每一种应力组合情况下材料的极限应力。于是，就需探求材料破坏（断裂或屈服）的规律。如果能确定引起材料破坏的决定因素，那就可以通过较轴向拉伸的试验结果，来确定各种应力状态下破坏因素的极限值，从而建立相应的强度条件，既强度理论。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无

3、限小的正六面体——单元体来研究。作用在单元体各面上的应力可认为是均匀分布的。如果单元体一对截面上没有应力，即不等于零的应力分量均处于同一坐标平面内，则称之为平面应力状态（图8−1b）；所有面上均有应力者，称为空间应力状态（图8−1a）。根据弹性力学的研究，任何应力状态，总可找到三对互相垂直的面，在这些面上切应图8−1xyσxτxτyσxσyσyτxτy(b)xyσxτxzτyxσzzτyz(a)σyτxyτzyτzx图8−2σ1σ3σ2(a)(b)σσ(c)σ1σ2力等于零，而只有正应力(图8−2a)。这样的面称为应力主平面(简称主平面)，主

4、平面上的正应力称为主应力。一般以σ1、σ2、σ3表示(按代数值σ1≥σ2≥σ3)。如果三个主应力都不等于零，称为三向应力状态(图8−2a)；如果只有一个主应力等于零，称为双向应力状态(图8−2b)；如果有两个主应力等于零称为单向应力状态(图8−2c)。单向应力状态也称为简单应力状态，其它的称为复杂应力状态。本章主要研究平面应力状态，并讨论关于材料破坏规律的强度理论。从而为在各种应力状态下的强度计算提供必要的基础。§8−2平面应力状态的应力分析——解析法一、斜截面应力图8−3xyσxτxτyσxσyσyτxτy(a)xnααyσατα(c)tσ

5、xτxσyτydefxyαα(b)σyσyτyfeadbcn设ef为一与单元体前后截面垂直的任一斜截面，其外法线n与x轴间的夹角（方位角）为α（图8−2b），简称为α截面，并规定从x轴到外法线n逆时针转向的方位角α为正值。α截面上的正应力和切应力用σα和τα表示。对正应力σα，规定以拉应力为正，压应力为负；对切应力τα，则以其对单元体内任一点的矩为顺时针转向者为正，反之为负。假想地沿斜截面ef将单元体截分为二，取efd为脱离体，如图8−3c所示。根据(b)分别有(c)(d)根据切应力互等定律有(e)将式（b）分别代入式(c)和(d)，经整理后

6、有(8-1)(8-2)利用三角关系(f)即可得到(8−3)(8−4)上列两式就是平面应力状态（图8−3a）下，任意斜截面上应力σα和τα的计算公式。例题8−1图a为一平面应力状态单元体，试求与x轴成30○角的斜截面上的应力。解：由图可知则由公式(13−3)及(13−4)可直接得到该斜截面上的应力203030单位：MPaxy(a)xn30°°301020yσ30°τ30°(c)30°30°30°例题8−1图二、主应力和主平面将式(8—3)对α取导数（a）令此导数等于零，可求得σα达到极值时的α值，以α0表示此值(b)即(8−5)由此式可求出α0

7、的相差90°的两个根，也就是说有相互垂直的两个面，其中一个面上作用的正应力是极大值，以σmax表示，另一个面上的是极小值，以σmin表示。利用三角关系：(c)将式(13−5)代人上两式，再回代到式(13−3)经整理后即可得到求σmax和σmin的公式如下：(8−6)式中根号前取“+”号时得σmax，取“－”号时得σmin。若把式(13−6)的σmax和σmin相加可有下面的关系：(8−9)即：对于同一个点所截取的不同方位的单元体，其相互垂直面上的正应力之和是一个不变量，称之为第一弹性应力不变量，并可用此关系来校核计算结果。用完全相似的方法，可

8、以讨论切应力τα的极值和它们所在的平面。将式(8−4)对α取导数，得(a)令导数等于零，此时τα取得极值，其所在的平面的方位角用ατ表示，则(b)(8−10)由式(