负二项分布的性质特征及在流行病学研究中的应用

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1、负二项分布的性质特征及在流行病学研究中的应用【摘要】给出了负二项分布的分解定理，进一步研究了负二项分布的有关性质及参数的无偏一致估计，以及在流行病学该分布的生物学意义。【关键词】负二项分布；无偏一致估计；应用负二项分布是概率论中常用的重要的离散型随机分布，它在医学中主要用于聚集性疾病及生物、微生物、寄生虫分布模型等的研究。具体地说，当个体间发病概率不相等可以拟合负二项分布，如单位人数内某传染病的发病人数，某地方病、遗传病的发病人数等，这些均可通过负二项分布进行处理。本文从概率论的角度阐述负二项分布的性质及参

2、数的最小方差无偏估计，并且以该分布在流行病学中应用为例证讨论了其生物学意义。1负二项分布的概率模型负二项分布又称帕斯卡分布（Pascal）,它有两种基本模型［1］：模型Ⅰ：假定每次试验可能的结果只有两个：可归结为成功或失败，每次试验之间是独立，每次成功的概率均为π，直到恰好出现r（指定的一个自然数）次成功所需试验次数X,则X的概率分布为：p(X=K)=πCr-1k-1πk-1(1-π)k-r=Cr-1k-1π-(1-π)k-rk=r,r+1…(1)模型Ⅱ：假定每次试验可能的结果只有两个：可归结为成功或失败，

3、每次试验之间是独立，每次成功的概率均为π，试验进行到r次成功为止，记X为试验共进行的次数,则X的概率分布为［3］：p(X=k)=Cr-1k+r-1πk(1-π)kk=0,1,2,…(2)此分布的概率是πr(1-(1-π))-r的幂级数展开式的项，负二项分布由此而得名记作X～f(k,r,π)，或X～NB(r,π)一个重要的特例是r=1。这时（2）成为p(X=k)=π(1-π)kk=0,1,2,…(3)称为几何分布。2性质特征为研究负二项分布的性质，我们先给出一个重要的结论：引理：设X～NB(r,π)，则其特征

4、函数为ψx(t)=πr(1-(1-π)eit)-r证明：ψx(t)=E（eitx)=∑∞i=0Cr-1i+r-1πr(1-π)ieitr=∑∞i=0Cr-1i+r-1πr((1-π)e)rti=πr∑∞i=0Cr-1i+r-1((1-π)ert)i=πr(1-(1-π)eit)-r定理1设:X1,X2,…,Xr（3）的iid样本，如果X=∑ri=1Xi,则X=∑ri=1Xi～NB(r,π)证明：因为X1，X2，…，Xr独立同分布，又有引理知X=∑ri=1Xi的特征函数为：φ(t)=πr(1-(1-π)eit

5、)-r=πr∑∞k=0(-r)(-r01)…(-r-k+1)k!((1-π)eit)k(-1)keitr=πr∑∞k=0(r+k-1)!(r-1)!k!(1-π)keit(k+1)=∑∞k=0πr(1-π)keit(k+r)Cr-1r+k-1这正是p(X=k)=Cr-1r+k-1(1-π)k的概率分布则X=∑ri=1Xi～NB(r,π)定理2设：X=X1,X2,…,Xn)是（1）的iid样本，则T（X）=∑ni=0Xi～NB(nr,π),则有p(T=k)=Cnr-1k-1πnr(1-π)k-nrk=nr,n

6、r+1,…(4)证明：设ξ的特征函数为f(t)，那么f(t)=∑∞x=reitxCr-1N-1πN(1-π)N-r=πeit1-(1-π)eitr因为x是ξ的iid样本，所以Xi的特征函数fi(t)=f(t),i=1,2,…,n有特征函数的性质得T的特征函数为:∏ni=1fi(t)πeit1-(1-π)eitr由于特征函数与概率分布唯一对应，所以T～f(k,nr,π)，其概率分布便是（4）。定理3设：X=(X1，X2，…，Xn)是（1）的iid样本，则T（X）=nr-1∑ni=1Xi-1，则它是π的最小方差

7、无偏估计。证明：由定理2可知E(T(X))=∑∞k=nrnr-1k-1Cnr-1k-1πnr(1-π)k-nr=π∑∞k-1=nr-1C(nr-1)-1(K-1)-1πnr-1×(1-π)(k-1)-(nr-1)=π所以T(X)是π的无偏估计。(责任编辑：admin)又由于E(T(X))=π,有切贝晓夫不等式，对?ε>0,有p(

8、T(X)-π

9、≥ω)≤V(T(X))ε2而V(T(X)=∑∞k=nrnr-1k-12Cnr-1k-1πnr(1-π)k-nr=π2∑∞k=nrnr-1k-1×k-2nr-2-

10、1×C(nr-2)-1(k-2)-1πnr-2(1-π)k-nr=π2∑∞k=nr1(k-1)(k-nr)(nr-2)×C(nr-2)-1(k-2)-1πnr-2(1-π)k-nr<π2nr-2∑∞k=nrC(nr-2)-1(k-2)-1πnr-2(1-π)(k-2)-(nr-2)=π2nr-2所以，对?ε>0,都有linn→∞p(

11、T(X)-π

12、≥ω)=0，可见T(X)是π的一致估计。又因为E(T(