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1、用超级画板探宄正多边形性质?教育技术?中.7歆-7(2ol1年第5期?初中版)63用超级画板探宄正多形住质430079华中师范大学数学与统计学学院汪文430079华中师范大学教育信息技术2r_程研究中心徐章韬1引言正多边形就是各条边相等,各个内角也相等的多边形,既是轴对称图形又是中心对称图形,是非常优美的几何图形.它有什么优美的几何性质呢?通过对一道几何习题进行探究论证,从另外一个角度对该问题进行推广得出了正多边形的重要几何性质.2用超级画板探究正多边形性质2.1等边三角形性质探究原题如图1,正三角形ABC中,在AB,BC边上分别取点D,E,使得AD=BE,连
2、接CD,AE相交于点0.则有/COE=60oACD=AE.通过证明△C/XBEA得到CD:AE和/__BAE=BEC图1/_ACD,再通过三角形外角公式即可得到/_COE=60c.推广首先作出满足上题的图形,如图2,然后在cA边上取点F,使CF:AD:BE,然后连接CD,AE,BF并作出它们的交点0,P,Q,利用其测量功能测量CD,AE,BF的长以及OP,PQ,qo的长和z_PO0的度数,发现无论D点在线段AB上怎么移动始终有CD=AE=BF;OP=PQ=qo以及/__Poq=60..于是得到下述推论:BE图2推论1正三角形ABC中,在AB,BC,CA边上分别
3、取点D,E,F,使得AD=BE=CF,连接CD,AE,BF相交于点0,P,q.则有CD=AE:BF且/XOPQ为等边三角形.证明由上题中的结论显然可以得到CD=AE=BF以及/_POp=/opq:z_pQo=60.,故zxopq为等边三角形.2.2正方形性质探究原题是关于正三角形的命题及推论,那么关于正方形会有类似的结论和推论吗?同样借助超级画板作出正方形ABCD,然后在AB,BC边上分别取E,F两点,使AE=BF,接着测量DOF的度数和AF与DE的长度,发现当E点在线段AB上移动时,始终有Z.DOF=90.,且AF=DE.因此可以得到下述命题:命题1如图3,
4、正方形ABCD中,在AB,BC边上分别取E,F两点,使AE:BF,连接ED,AF相交于点0,则有/DOF=90.,且AF=DE.图3证明'.'四边形ABCD是正方形,.'.有AB=AD,/_.DAE=Z.ABF=90.,又由题知AE:BF./XEZXABF(SAS),从而有AF=DE,/_ADE=Z.BAF,又BAF+F=90.,.'.DDF=ADE+DAF=BAF+/DAF=90..既然关于正方形的类似结论成立了,那么关于其类似的推论是否也成立呢?仍然利用超级画板来探究了一下:首先作出满足命题1的图形,然后在CD,DA上取点G,H,使CG=DH=AE=BF,
5、连接BG,c日相交于Q,与AF,DE交于P,0,然后利用其测量功能测量AF,BG,CH,DE的长和OP,JPQ,,RO的长以及opq的大小,发现当E点在线段AB移动时有AF=BG=CH=DE;OP=PQ=QR=RO;且oPq=90.,故可得到四边形op0R为正方形.从而得出下面的推论:推论2正方形ABCD中,在AB,BC,CD,DA边上分别取E,F,G,H四点,使AE=BF=CG=DH,连接AF,中.7擞?7(2ol1年第5期?初中版)?教育技术?BC.,CH,DE相交于0,P,Q,R则有AF=BC.=CH=DE且四边形OPQR为正方形.图4证明'..四边形A
6、BCD是正方形,.'.有AB=BC=CD=DA,DAE=/_ABF=/_BCG=CDH=90..又由题知AE=BF=CC,=DH,.'.△A引△BCC△,日△Z~AJZ(SAS)..'.有AF=BC,=CH=DE;/_ADE=/BAF=/CBG:/_DCH..?.由三角形外角公式可得/DPQ=/_eqR=qRo=DP=90.,.'.四边形0PQ为矩形.又Z.APB=8qc=CRD=DOA=90../_ADO:P=衄Q=D,AB=BC=CD:DA:.'.△AzxBcq~---AC△Dao(AAS);.'.有AP=8Q=CR:DO,BP=cq=DR=AO,又DP=
7、AP—AO,PQ=BQ—BP,Q=CR—cq,RO=DO—DR,.'.OP=eq=Q尺=RO,从而四边形opoR为菱形.又其为矩形,所以四边形opoR为正方形.再提升一个思维层次,对于一般的正多边形会也有类似成立的结论和推论吗?同样借助超级画板探究发现当多边形是正五边形,正六边形,正七边形,正八边形时仍有上述类似成立的命题和推论,于是笔者对正多边形的这一性质进行归纳得出下面的一个命题和推论命题2如图5,正n边形A.AA,…A中,在A.A:,2A,边上分别取曰.,两点,使A.B.=A:B:,连接A.,A.B相交于点0.点,则有/_AOlB:,且AB1:AtB2.
8、A',图5证明'..多边形AAA…A
