含有绝对值的不等式名师导学

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1、含有绝对值的不等式名师导学学科：数学教学内容：6.5含有绝对值的不等式【基础知识精讲】1.含有绝对值不等式的性质.(1)定理：｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜注意等号成立的条件.(2)含有绝对值不等式性质的推论.可将定理推广到①｜a1+a2+a3｜≤｜a1｜+｜a2｜+｜a3｜.更一般地②｜a1+a2+a3+…+an｜≤｜a1｜+｜a2｜+｜a3｜+…+｜an｜(n∈N)(3)含有绝对值的不等式性质的几何意义：其一个几何解释是：三角形任何一边小于其它两边之和，而大于其它两边之差(a

2、>0,b>0).它不但可用于某些不等式的证明，还可把a、b推广到两个向量乃至以后要学到的复数当中去.(4)应用含有绝对值不等式的性质求含有绝对值函数的最值时，一定要注意等号成立的条件.如：｜a+b｜＝｜a｜+｜b｜ab≥0｜a-b｜＝｜a｜+｜b｜ab≤0｜a｜-｜b｜＝｜a+b｜(a+b)b≤0｜a｜-｜b｜＝｜a-b｜(a-b)b≥02.含有绝对值不等式的主要类型及解法.(1)｜f(x)｜0)-aa(a>0)f(x)>a或f(x)<-a(3)｜f(x)｜

3、g(x)(4)｜f(x)｜>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(5)｜f(x)｜>｜g(x)｜f2(x)>g2(x)3.本节学习要求(1)解绝对值不等式的基本思想是设法去掉绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式来解.化去绝对值符号的主要途径：①根据实数的绝对值的意义.即：｜x｜a②利用不等式的性质两边平方：｜f(x)｜>a(a>0)［f(x)］2>a2｜f(x)｜0)［f(x)］2｜g(x)｜f2(x)>g2(x)③零点分段法则：若不等式含有两个或两个以上的绝对值并且含有未知数，

4、通常先把每个绝对值的原数值等于零的未知数的值求出(即零点)，然后将这些零点标在数轴上，此时数轴被零点分成了若干个区间，在每一个区间里每一个绝对值号内的代数式有一个确定的符号，此时利用绝对值的定义，可去掉绝对值符号.将含有绝对值的不等式求解，原不等式的解集就是这若干区间上不等式解集的并集.(2)含有绝对值不等式的证明，常用比较法、分析法、综合法、换元法、反证法、放缩法等证明方法，注意有时会应用性质｜a｜-｜b｜≤｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜进行适当的放缩.通过本节学习，培养学生等价转化的思想及综合应用数学问题的能力.【重点难点解析】首先

5、复习初中已学过的有关绝对值的基本概念和基本知识，及｜x｜a(a>0)型的不等式的解法.在此基础上，继续学习一类含有绝对值不等式的性质、证明、解法及其简单应用.例1已知｜a｜<1,｜b｜<1，比较｜a+b｜+｜a-b｜与2的大小.分析此题含有两个绝对值的式子，若考虑去绝对值符号，情况较为复杂，此题选取(a+b)(a-b)≥0或(a+b)(a-b)<0两种情况分类较为简单.解：讨论：(1)当a+b与a-b同号时.｜a+b｜+｜a-b｜＝｜a+b+a-b｜＝2｜a｜<2(2)当a+b与a-b异号时｜a+b｜+｜a-b｜＝｜(

6、a+b)-(a-b)｜＝2｜b｜<2综合得：｜a+b｜+｜a-b｜<2例2解下列不等式(1)｜x-x2-2｜>x2-3x-4(2)｜｜≤1(1)分析一可按解不等式的方法来解.原不等式等价于：x-x2-2>x2-3x-4①或x-x2-2<-(x2-3x-4)②解①得：1--3故原不等式解集为｛x｜x>-3｝分析二∵｜x-x2-2｜＝｜x2-x+2｜而x2-x+2＝(x-)2+>0所以｜x-x2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.故原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4解得：x>-3∴原不等式解集为｛x>-3｝(2

7、)分析不等式可转化为-1≤≤1求解，但过程较繁，由于不等式｜｜≤1两边均为正，所以可平方后求解.原不等式等价于｜｜2≤19x2≤(x2-4)2(x≠±2)x4-17x2+16≥0x2≤1或x2≥16-1≤x≤1或x≥4或x≤-4注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.例3求使不等式｜x-4｜+｜x-3｜f(x)min即

8、可.利用绝对值的性质：｜x-4｜+｜x-3｜≥｜x-4-(x-3)｜＝1∴a>1时，原不等式有解.分析二利用绝对值的几何意义.设数x,3,4，在数轴上对应的点分别为P、A、B，由绝对值的几何意义，原不等式即求PA+PB