偏微分方程数值解课程设计

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1、课程设计报告课程：偏微分方程数值解学号：姓名：班级：教师：《偏微分方程数值解》课程设计指导书一.课程设计的目的1.帮助掌握偏微分方程数值解相关知识。2.理解偏微分方程数值解差分隐格式解决自由振动方程问题的方法。3.锻炼编写程序代码的能力。二.设计名称差分法求自由振动问题的周期解。三.设计要求1.要求写出差分隐格式的理论方法。2.要求编写matlab程序，画出函数图形。3.要求写出实验总结及心得体会。四.设计题目用差分法求自由振动问题的周期解：要求用差分隐格式求解，其中。五.设计细则1.区域剖分：构造上式的差分逼近，取空间步长和时间步长

2、，用两族平行直线作矩形网格。2.离散格式：显格式：于网点用Taylor展式，并整理方程得：隐格式：上述显格式并不是绝对稳定的差分格式，为了得到绝对稳定的差分格式，用第层、层、层的中心差商的权平均去逼近，得到下列差分格式：其中是参数。当时就是显格式，而当时可以证明该格式绝对稳定。隐格式的矩阵形式是：其中：3.格式稳定性：1）显格式：显格式稳定的充分必要条件是：网格比。2）隐格式：当时隐格式绝对稳定。4.数值例子：可以证明是波动方程的一个解析解。那么，为了更精确的得到误差估计，在这里选取作数值实验。取，并且将时间步长10等分，空间步长10

3、0等分（即）。这样网格比，从稳定性分析可知，此时格式稳定。六.程序代码：1.主函数：T=1;%取时间长度为1b=0.5;h=2*pi/100;tao=1/10;f=inline('0','x','t');%f=0fx1=inline('0');fx2=inline('sin(x)');ft1=inline('sin(t)');%此题中取ft1=ft2=sin(t)=sin(2*pi+t)ft2=inline('sin(2*pi+t)');[X,Y,U,Z]=chfenmethed(f,fx1,fx2,ft1,ft2,T,h,tao);

4、mesh(X,Y,U);%绘制函数图像shadingflat;xlabel('X','FontSize',14);ylabel('t','FontSize',14);zlabel('U','FontSize',14);title('函数');figure;mesh(X,Y,Z);%绘制误差图像xlabel('X','FontSize',14);ylabel('t','FontSize',14);zlabel('Z','FontSize',14);title('误差');2.编写差分隐格式函数：function[X,T,U,Z]=chf

5、enmethed(f,fx1,fx2,ft1,ft2,T,h,tao)%u_tt-u_xx=f(x,t)0

6、=feval(fx1,x(i));U(2,i)=U(1,i)+tao*feval(fx2,x(i))+tao^2/2*(1/h^2*...(feval(fx1,x(i+1))-2*feval(fx1,x(i))+feval(fx1,x(i-1))+feval(f,x(i),0)));Z(2,i)=abs(U(2,i)-f0(x(i),t(2)));endforj=1:nU(j,1)=feval(ft1,t(j));U(j,m)=feval(ft2,t(j));endA=-0.5*s^2*ones(1,m-2);C=A;B=(1+s^2

7、)*ones(1,m-2);UU=zeros(1,m-2);f1=UU;fori=3:nforj=2:m-1UU(j-1)=f0(x(j),t(i));f1(j-1)=0.5*s^2*U(i-2,j-1)-(1+s^2)*U(i-2,j)...+0.5*s^2*U(i-2,j+1)+2*U(i-1,j)...+tao^2*feval(f,x(j),t(i-1));endf1(1)=f1(1)+0.5*s^2*U(i,1);f1(end)=f1(end)+0.5*s^2*U(i,m);U(i,2:m-1)=zgf(A,B,C,f1);Z

8、(i,2:m-1)=abs(U(i,2:m-1)-UU);end3.编写迭代函数，用以实现差分隐格式：functionx=zgf(A,B,C,f)n=length(B);B1=zeros(1,n-1);Y=zeros(1