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1、广义部分线性单指数模型的惩罚样条估计第26卷第8期2009年8月统计研究StafisficalResearchVo1.26,No.8Aug.2009广义部分线性单指数模型的惩罚样条估计刘静欧阳资生吴喜之内容提要:本文讨论了指数族广义部分线性单指数模型(GeneralizedPartiallyLinearSingleIndexModels,GPLSIM)的惩罚样条迭代估计,提出了基于惩罚似然和一组预先取定的单指数参数向量a的初始估计的迭代估计算法.另外本文还通过一组模拟数据的分析对所提出的迭代算法进行
2、了验证.关键词:广义部分线性单指数模型;惩罚样条;惩罚似然中图分类号:C813文献标识码:A文章编号:1002—4565(2009)08—0102—1lPenalizedSplinesEstimationforGeneralizedPartiallyLinearSingle?IndexModelsLiuJingOuyangZishengWuXizhiAbstract:Inthispaperwediscussthepenalizedsplinesestimationofthegeneralizedpa
3、rtiallylinearsingleindexmodelsandproposeaniterativealgorithmbasedonpenalizedlikelihood.Keywords:GeneralizedPartiallyLinearSingleIndexModels;PenalizedSplines;PenalizedLikelihood一,引言单指数模型即SingleIndexModels(SIM),这里的"index"就是我们熟知的指数,如价格指数,股票指数,健康指数等,是随机变量的
4、函数,也可将其视为随机隐变量.有的文献称"index"为"指标"(如[15]),两称呼无本质差别.基于"指数"的模型就是"指数模型"(IndexModels),已有文献中所讨论的"指数模型"可分成单指数模型和多指数模型两类.不过"指数"及"指数模型"并非随意设定也不能滥用([13])."单指数"(single.index)是一个随机变量,用以表示其他许多变量综合信息中主要的部分,而基于这个"单指数"的模型就是"单指数模型",其数学表达式如下:Y7/(口;11)+e,e～N(O,)其中口称为单指数(S
5、ingleIndex),P>1,向量a川称为单指数参数,.称为单指数回归变量或单指数回归向量,一元光滑函数刁(?)称为单指数函数.当回归向量为W=(T,z.)且其中是单指数回归变量,而Z(q≥1)与响应变量Y之间呈线性关系时,SIM模型就被推广为部分线性单指数回归模型(PartiallyLinearSingleIndexModels,PLSIM),其表达式如下:Y=(口PT1p1)+l口l+e,e～N(O,)PLSIM模型综合了单指数模型和部分线性模型的优点,在计量经济学和生物统计学等领域有广
6、泛应用.当一元响应变量Y服从指数族分布时,PLSIM模型就被推广成指数族广义部分线性单指数模型(GeneralizedPartiallyLinearSingleIndexModels,简记为GPLSIM),SIM模型和PLSIM模型都可看作GPLSIM模型的特例.GPLSIM由[3]最早提出,被看作是指数族广义线性模型的推广,而这一推广弥补了参数广义线性模型的一些缺陷.另外GPLSIM模型还有其他优点(见[3]),比如:降维:若x.是P>1维回归变量,即x=(一,),则变换arX将回归问题】7
7、(,…,.)由P维空间的非参数回归降低到一维空间的非第26卷第8期刘静等:广义部分线性单指数模型的惩罚样条估计"103?参数回归问题,这样当P非常大时,不仅通过降维避免了"维数祸根",还保留了高维数据的重要特征,在"小/7,大P"情形下比广义可加半参数模型能更好地应对"维数祸根"问题;可以在降维的同时对协变量之间的交互效应进行研究,而这些交互效应有时是广义可加或函数系数模型无法处理的.讨论广义部分线性单指数模型的研究文献并不多,其中[3]讨论了基于直接估计和局部多项式迭代估计两种方法上的模型估计,推
8、断以及统计计算,另外还有文献讨论了GPLSIM模型基于核光滑的估计和推断,从局部似然的角度讨论了模型的估计和推断.文献[1O]的作者之一Yu,Y.在其一篇WorkingPaper中讨论了GPLSIM模型的惩罚样条估计,为避免"广义非线性回归估计"(为得到参数a估计的更新)和"广义半参数回归模型惩罚样条估计"(为得到刁(?)和线性部分参数p估计的更新)之间的迭代,Yu,Y.提出了基于惩罚似然(PenalizedLikelihood,PL)或惩罚拟似然(Penalized
