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1、题目：单倒置摆控制系统的状态空间设计学院：专业班级：姓名：学号：指导教师：设计日期：2011.5.20一、设计题目及原理图如图1所示，为单倒置摆系统的原理图。设摆的长度为、质量为m，用铰链安装在质量为M的小车上。小车有一台直流电动机拖动，在水平方向对小车施加控制力u,相对参考系产生位移z。若不给小车施加控制力，则倒置摆会向左或向右倾倒，因此，它是一个不稳定系统。控制的目的是，当倒置摆无论出现向左或向右倾倒时，通过控制直流电动机，使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。MZu图1单倒置摆系统的原理图mL二、倒置摆的状态空间方程为简
2、化问题，工程上可以忽略一些次要因素。在本例中，我们为了简化问题，方便研究系统空间的设计问题，忽略了摆杆质量、执行电动机惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦及风力。设小车的瞬时位置为z，倒置摆出现的偏角为θ，则摆心瞬时位置为。在控制力u的作用下，小车及摆均产生加速运动，根据牛顿第二定律，在水平直线运动方向的惯性力应与控制力u平衡，则有即(1)由于绕摆旋转运动的惯性力矩应与重力矩平衡，因而有即（2）式（1）、式（2）两个方程都是非线性方程，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒置摆直立，因此，在施加合适u的条件下，可以认为、均接近于零，
3、此时≈，,且可以忽略项，于是有（3）+=（4）连联立求解式（3）、式（4），可得（5）（6）消去中间变量θ，可得输入量为u、输出量为z的微分方程为（7）综合上述的分析，可抽象出系统的研究对象为：位移z、小车的速度、摆的角速度θ及其角速度的。系统的研究对象抽象成这四个变量后，接下来就可以根据前面的方程为这四个变量建立空间状态方程，并分析被控对象的特性。三、建立倒置摆的状态空间模型再上一步中，我们已经选取了四个研究对象作为状态变量，它们分别为：位移z、小车的速度、摆的角速度θ及其角速度的。Z为输出变量，在考虑，以及式（5）、（6）、（7），
4、可列出倒置摆的状态空间模型表达式为：（8a）(8b)式中为方便研究，假定系统的参数M=1kg,m=0.1kg,l=1m,,则系统状态方程中参数矩阵为：,，（9）此时倒置摆的状态空间模型表达式为：四、对模型进行分析（即对被控对象进行分析）以及相应仿真在建立完模型后我们需要对模型进行分析。作为被控制的倒置摆，当它向左或向右倾倒时，能否通过控制作用使它回复到原直立位置，这取决于其能控性。因此我们首先分析它的能控性。1.能控性分析根据能控性的秩判据，并将式（9）的有关数据带入该判据，可得（10）因此，单倒置摆的运动状态是可控的。换句话说，这意味
5、着总存在一控制作用u,将非零状态转移到零。仿真代码如下：代码：A=[0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0];b=[0;1;0;-1];c=[1,0,0,0];d=0;N=size(A);n=N(1);sys0=ss(A,b,c,d);S=ctrb(A,b)；f=rank(S);iff==ndisp('系统能控')elsedisp('系统不能控')end结果截图：1.稳定性分析由单倒置摆系统的状态方程，可求的其特征方程为：（11）解得特征值为0,0，，-。四个特征值中存在一个正根，两个零根，这说明单倒置摆系
6、统，即被控系统不稳定的。仿真:采用MATLAB对被控对象进行仿真，如下图所示为倒摆没有添加任何控制器下四个变量的单位阶跃响应。如图可知，系统不稳定，不能到达控制目的。代码：A=[0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0];b=[0;1;0;-1];c=[1,0,0,0];d=0;sys0=ss(A,b,c,d);>>t=0:0.01:5;>>[y,t,x]=step(sys0,t);>>subplot(2,2,1);>>plot(t,x(:,1));grid>>xlabel('t(s)');ylabel('x
7、(t)');>>title('z');>>subplot(2,2,2);>>plot(t,x(:,2));grid;>>xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');>>title('z的微分');>>subplot(2,2,3);>>plot(t,x(:,3));grid>>xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');>>title('theta')>>subplot(2,2,4);>>plot(t,x(:,4));grid>>xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');>>title(
8、'theta的微分')仿真结果如下：由上面两个方面对系统模型进行分析，可知被控系统是具有能控性的，但是被控系统是不稳定的，需对被控系统进行反馈综合，使四个特征值全部位于根平面S左半平面的适当位置，以满足系
