第三章分离变量法(2)

《第三章分离变量法(2)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、习题3.21．求解具有放射性衰变的热传导议程。解：由于对应的齐次方程具有第一类边界条件，故令：，代入方程和初始条件得：即其中得其中故得原定解问题的解为：2．一长为l的均匀弦，弦上每一点受外力作用，其力密度为bxt，若弦的两端是自由的，而初始位移为零，初始速度为（l－x），试求弦的横振动。解：该问题的数学模式为：解：由于该问题所对应的边界条件是第二类边界条件，故可令代入方程和初始条件有：整理得：其中∴将代入上式得将代入上式有∴∴3．求解下列定解问题（1）解：该方程所对应的齐次方程是第一基边齐条件，于是可设其中∴代入方

2、程和初始条件有：整理得：∴将代入上式得将代入得∴∴（2）解：该问题对应的齐次方程的特征函数为故令，代入方程和初始条件有：其中证则有：将代入上式得（3）解：令则代入方程和边齐条件，并比较系数有：其中⑥对应的齐次方程的通解为⑥的特解为则⑥的通解为将代入a得∴∴原方程的解为（4）解：该方程所对应的齐次问题的特征函数为：于是原方程的解可以设为（1）并且（2）将（2）变形为类比知将（1）代入原方程和初始条件有：整理即为将（1）代入齐次初始条件有∴当n=0时有（3）的通解为：∵代入上式得代入上式得∴当时∴将（6）代入上式有∴∴

3、，其中4：试用冲量原理推理有界弦纯强迫振动解，即用冲量原理证明下列方程的解为其中证明：（1）引进瞬时力的概念外力f（x，t）是持续作用的，应对弦上各点的位移均产生影响。因此t时刻的位移u（x，t），应是外力从t=0持续到时刻t的结果。现将持续力f（x，t）看成一系列前后相继的瞬时力f（x，）的叠加。由函数的定义，瞬时力作用从开始，到结束，根据叠加原理，定解问题的解，应是所有瞬时力引起的位移的叠加。即（2）求的定解问题由于弦两端固定的情况没有变，交且时刻的瞬时x不可能引起时刻的初始位移和初速度，因此，应满足如下位移。

4、（3）利用冲量定理将非齐次方程齐次化。由于瞬时力的作用仅发生在时段内，若将初始时刻设为，则的定解问题中，方程就变成齐次了。此时由于瞬时力作用仅为一瞬间，来不及使弦产生位移，故有但是可以产生在时刻的初速度，此初速度可由冲量定理求出。对（2）中的方程从到积分。即由于瞬时x在时刻尚未起作用，所以故可得：综上，若以简记为作为初始时刻，则的定解问题就化为令则上面的方程变为：∵∴∵∴，∴∴∴于是原方程的解为5．均匀导线，每单位长度的电阻为，恒定的电流I，导线表面跟周围温度为零的介质进行热交换，试求导线上温度的变化。设初始温度和

5、两端温度都为零，h是交换系数。解：设导线的热传导系数、热交交换系数，比热密度分别为k，h，c，p，则由热量导性定律可得方程为：其中，表示温度，故其定解问题为：由于对应的齐次问题的特征函数为，故令则代入方程和初始条件中，比较前的系数有：求得其中将初始条件代入处所以于是导线上温度的变化规律为习题3.3（P195）1．长为l而固定于一端的均匀细杆，处于静止状态，在时，一个三台杆长方向的力Q（每单位面积上）加在杆的另一端上，求在时，杆上各点的位移。解：该问题的泛定方程为其中E，S分别为细杆的杨氏模量及横截面积，由于是非齐次

6、边界问题，必须齐次化，为此令，其中满足，∴可取∴满足下面的方程在上面关于的方程中，齐次方程所对应的特征函数为于是可令代入方程有整理即为：求解得其中，待求又，∴∴　又，∴，∴代入关于的通解有：，∴∴∴2：有一长为l，侧面绝热，而初始温度为0的均匀细杆，它的一端处温度永远保持0℃，而另一端处的温度随时间直线上升，即（c为常数），求t>0时，杆的温度分布。解：该定解问题的泛定方程为：这是一个非齐次边界问题，必须进行齐次化处理，为此，令其中满足于是可取，即这样原方程可以变为上面关于的方程所对应的齐次方程齐次边齐的特征函数为

7、于是可以令：代入非齐次方程有：其中∴整理关于的微分方程有并比较前面的系数有，代入的通解表达式有3．设弹簧一端固定，另一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题为试求解，其中不为正整数，均为常数。解：这是一个非齐边界问题，必须进行齐次化处理，为此令其中满足。为此应取于是关于的方程就应变为关于的方程，如下：上面的方程是非齐次方程，齐次边界，非齐次初始条件，利用叠加原理，该方程的解可分解为下面两个方程解的叠加。容易求得（Ⅰ）的解为（Ⅱ）的解为：其中即其中4．求下面的定解问题：解：这是一个非齐次边齐问题，必须进行齐次化处理，

8、为此令其中满足，这样可取：则定解问（1）—（3）化为：其中：（9）利用常数变量法（6）—（8）的解可以令为则（6）—（7）两式变为故由付理叶余弦展开的系数公式有：当时其中（14）当时其中（18）而F（x，y），G（y）和H（y）由（9）式给出，对于定解问题（11）—（13），由于方程（11）有特解而对立的齐次方程有通解（19）故方程（11）有通解为将（19）