刘喜波讲义答案(参考)

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1、第一讲函数、极限与连续题型一、函数的概念和性质xsin(x−2)例1、（0434）函数fx()=在下列哪个区间内有界2xx(−1)(x−2)（A）（-1，0）（B）（0，1）（C）（1，2）（D）（2，3）答案：A【详解】本题要讨论的是开区间的有界性．易知f（x）的定义域是（-∞,0）∪（0,1）∪（1,2）∪（2,+∞）,在（-1,0）连续,且在x=-1的右极限、x=0的左极限为

2、

3、sim(-2)xx−sin3sin3limf（x）=lim==-，++2x→−1x→−1xx(−1)(x−2)29•18

4、

5、sin(xx−2)sin2limfx()=lim=−．−−2x→0x→0xx(−1)(

6、x−2)4故f（x）在（-1,0）有界,选（A）．另外,也可由

7、

8、sin(xx−2)lim=∞,2x→1xx(−1)(x−2)排除（B）,（C）,以及由

9、

10、sin(xx−2)lim=∞,2x→2xx(−1)(x−2)排除（D）,从而选（A）．例2、（0534）以下四个命题中正确的是（）'（A）若fx()在（0，1）内连续，则fx()在（0，1）内有界（B）若fx()在（0，1）内连续，则fx()在（0，1）内有界'（C）若fx()在（0，1）内有界，则fx()在（0，1）内有界'（D）若fx()在（0，1）内有界，则fx()在（0，1）内有界答案：C1分析：f(x)=,（A）、（B）不正确x

11、f(x)=x,（D）不正确例3、（051、2）设Fx()是连续函数fx()的一个原函数，则必有（A）Fx()是偶函数⇔fx()是奇函数（B）Fx()是奇函数⇔fx()是偶函数（C）Fx()是周期函数⇔fx()是周期函数（D）Fx()是单调函数⇔fx()是单调函数答案：A1题型二、极限的概念和性质11例4、当x→0时，cos是3xx（A）无穷小（B）无穷大（C）有界的但不是无穷小（D）无界的但不是无穷大答案：D分析：考虑特殊序列11x=，y=nn2nππ2nπ+2例5、（0312）设{a},{b},{c}均为非负数列，且lima=0,limb=1,limc=∞,nnnnnnn→∞n→∞n→∞则

12、必有(A)a

13、)2x→0xx⎛sinxfx()⎞1sin⎡x⎤【详解】lim⎜+⎟=lim+()=2,fxx→0⎝x2x⎠x→0x⎢⎣x⎥⎦⎡sinx⎤所以lim+()=0,fxx→0⎢⎣x⎥⎦即f(0)+1=0⇒f(0)=1.−fx()−f(0)fx()1+f′(0)=lim=limx→0xx→0x⎡fx()sinx1sinx⎤=lim++−x→0⎢⎣xx2xx2⎥⎦⎛1sinx⎞x−sinx=2+lim⎜−⎟=2+lim22x→0⎝xx⎠x→0x1cos−x=2+lim=2+0=2.x→02x注：还可利用极限的性质2题型三、求函数的极限1）用运算法则应注意的问题2x+1例7、求极限limx→−∞2x+

14、x[解]分子分母同除以x时，注意x为负12+x原式=lim=−2x→−∞1−1+x注：应注意符号问题12+exsinx例8、求极限lim(+)4x→0ln(1+x)1+ex注：应注意极限不存在情形的处理(要考虑左、右极限)143−−2+exsinx2ex+exsinx解：lim(+)=lim(+)=1+4+4x→0ln(1+x)x→0−ln(1+x)1+exex+1112+exsinx2+exsinxlim(+)=lim(−)=2−1=1−4−4x→0ln(1+x)x→0ln(1+x)1+ex1+ex所以原式=10∞2）未定式1、或型0∞1+2sinx−x−1例9、（113）求极限lim.x

15、→0xln(1+x)【分析】直接利用洛比达法则或分子有理化,及等价无穷小替换【详解一】用洛比达法则1+2sinx−x−11+2sinx−x−1cosx−1+2sinxlim=lim=lim2x→0xln(1+x)x→0xx→02x1+2sinxcosx−sinx−cosx−1+2sinx1+2sinx1=lim=lim=−x→02xx→022.【详解二】先分子有理化再用洛比达法则221+2sinx−x−11+