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1、第八节二阶常系数线性差分方程二阶常系数齐次线性差分方程的求解二阶常系数非齐次线性差分方程的求解思考题小结内容回顾第十章微分方程与差分方程一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解内容回顾二、非齐次方程的求解关键是求非齐次特解,本节求特解要求掌握待定系数法：1.型(1)当μ＝0、1时，即类型1.(2)当μ≠0、1时，设型2.特征根通解形式三、二阶常系数齐次微分方程求通解:(待定系数法)二阶常系数非齐次微分方程求通解:二阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式二阶常系数齐次线性差分方程的一般形式（1）（2）二阶常系数线性差分方程一、二阶常系数
2、齐次线性差分方程的求解令根据特征方程（3）的根的三种情形写出通解：(1)第一种情形：代入方程（1）得特征方程（3）特征方程（3）有两个不同的实根（1）通解为()为任意常数212211,CCCCyxxxll+=(2)第二种情形：(3)第三种情形：特征方程（3）有两个相同的实根特征方程（3）有一对共轭复根通解为()()为任意常数2121,CCxCCyxxl+=通解为()()为任意常数2121,sincosCCxCxCryxxqq+=解:特征方程原方程的通解为的根为例1求差分方程的通解.0612=--++xxxyyy()()为任意常数
3、2121,,23CCCCyxxx-+=求差分方程特征方程原方程的通解为的根为将原式变形为解:的通解.特征方程例2解:特征方程原方程的通解为的根为例3求差分方程的通解.0412=++xxyy()()为任意常数2121,sincosCCxCxCryxxqq+=()为任意常数2121,,2sin2cos21CCxCxCyxxøöçèæ+øöçèæ=pp例4求差分方程的通解.解:特征方程原方程的通解为的根为()pabqba<<>=+=0,0arctan,22brq()为任意常数2121,,3sin3cos4CCxCxCyxxøöçèæ+
4、=pp()()为任意常数2121,sincosCCxCxCryxxqq+=二阶常系数齐次线性差分方程特征根通解形式特征方程二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解由上节定理3知道,差分方程（2）的通解应由对应齐次差分方程的通解（前面已学过）和非齐次差分方程的特解两部分组成.我们只学习后部分.二阶常系数非齐次线性差分方程的特解求法——待定系数法.（2）（1）1不是特征方程的根，即1+a+b≠0,设（2）1是特征方程的单根，即1+a+b＝0且2+a≠0,设（3）1是特征方程的重根，即1+a+b＝0且2+a＝0,设1.型()()xPxf
5、n=特征方程(待定系数法)二阶常系数非齐次差分方程求通解:例5求差分方程的通解.解:（1）对应齐次方程（2）设非齐次方程的特解为（3）非齐次方程的通解为的特征方程通解为代入方程求得所以()()为任意常数2121,,4CCCCYxx-+=()()为任意常数21221,,50211034CCxxCCyxx-+-+=2.型(μ≠0、1)令（2）原方程化为例6求差分方程解:（1）对应的齐次方程特征方程的根为（2）令对应的齐次方程的特征方程为的通解.通解为的特征方程为原方程化为()()为任意常数2121,,32CCCCYxxx+-=所以得
6、原方程的特解为设非齐次方程的特解为特解为代入方程求得特征方程的根为()()为任意常数21221,,252151332CCxxCCyxxxxøöçèæ-++-=思考题求差分方程的一个特解.解:对应齐次方程特征方程的根为代入方程求得设非齐次方程的特解为所以差分方程的一个特解为的特征方程1.二阶常系数齐次线性差分方程求通解特征方程特征根通解形式小结2.二阶常系数非齐次线性差分方程求通解方程的通解为1.型2.型(μ≠0、1)令原方程化为作业P4261(奇)，2(偶)预习：第九节第十章微分方程与差分方程
