二阶常系数线性差分方程的应用(20210321094525).docx

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1、一、二阶常系数线性差分方程的应用张芳平指导老师魏平摘要本文介绍一、二阶差分方程的基本概念、解的几种应用以及这些解在计算几种特殊行列式的值和概率论中的应用.关键词差分方程特征值特征方程行列式全概率公式1.差分方程的概念含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程.由于差分方程中必须含有未知函数的差分(自变量、未知函数可以不显含)，因此差分方程也可称为含有未知函数差分的函数方程.差分方程中实际所含差分的最高阶数，称为差分方程的阶数.或者说，差分方程中未知函数下标的最大差数，称为差分方程的阶数.n阶差分方程的一般形式可表示为(t,yt,yt,2yt,nyt

2、)0，(1)或F^yt’yti,ytn)0,(2)由于经常遇到是形如(2)式的差分方程，所以以后我们只讨论由(2)式的差分方程.若把一个函数yt(t)代入差分方程中，使其成为恒等式，则称yt(t)为差分方程的解.含有任意常数的个数等于差分方程的阶数的解，称为差分方程得通解；给任意常数以确定值的解，称为差分方程得特解.用以确定通解中任意常数的条件称为初始条件•当t1时，称为一阶差分方程，当t2时，称为二阶差分方程1.1一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为yt1aytf(t)(3)其中常数a0，f(t)为t的已知函数，当f(t)不恒为零时，(3)称为

3、一阶非齐次差分方程；当f(t)0时，差分方程yt1ayt0.(4)称为齐次线性差分方程齐次差分方程的通解形式为ytC(a)t(C为任意常数).非齐次差分方程的通解形式：ytC(a)tb(C，b为任意常数).(5)下面仅就函数f(t)为几种常见形式用待定系数法求非齐次线性差分方程(5)的特解•根据f(t)的形式，按下表确定特解的形式，比较方程两端的系数，可得到特解y*(t).f(t)的形式特征根的判断特解的形式通解的形式f(t)km(t)(Qm(t)为与Pm(t)次数相同的多项式)不是特征根tQm(t)C(a)tAtQm(t)A、C为待定系数是特征根ttQm(t)C(

4、a)tAttQm(t)A、C为待定常数f(t)t(acostbsint令Yeostisint)不是特征根t(AeostBsint)C(a)tAt(AeostBsint)A、C为待定常数是特征根tt(AeostBsint)C(a)tAtt(AeostBsint)A、C为待定常数1.2二阶常系数线性差分方程标准形式齐次：yt2ayt1byt0,(6)非齐次：yt2ayt1bytf(t).(7)定理1若函数y1(t),y2(t)是二阶齐次线性差分方程(6)的线性无关特解，则yc(t)Cy(t)C2y2(t)是该方程的通解，其中Ci、C2是任意常数•定理2若y*(t)是二阶

5、非齐次线性差分方程(6)的一个特解，yc(t)是齐次线性差分方程(7)的通解，则差分方程(6)的通解为ytyc(t)y*(t).1.3解的形式1.3.1二阶常系数齐次二阶常系数齐次差分方程(5)的解与其特征方程2ab0根的判别式a4b的符号有关.a)当a24b0时，差分方程(5)有两特解y't)，以⑴2,’1®常数,y(t)2它的通解是yc(t)C11C22；2b)当a4b0时，有两个相同的特征根，112a，差分方程(5)有特解%(t)c)当a24b特解11(-a)t,y2(t)t(^a)t，它的通解是0时，特征方程有两个共轭复特征根t■trsint,rrtcost

6、,y2(t)tany(t)2j4ba2art(CjcostC2sint)，yc(t)(0,)(G1C2(t))(-a)t，差分方程(，它的通5)有两由f(t)的形式特征根的判断特解的形式f(t)lm(t)(Qm(t)为与Pm(t)次数相同的多项式)不是特征根tQm(t)是单特征根ttQm(t)是二重特征根tt2Qm(t)f(t)t(acostbsint)令t(costisint)不是特征根t(AC0StBsint)是单特征根tt(AcostBsint)是二重特征根tt2(AcostBsint)yc(t)的解类似一阶常系数线性差分方程，如下表2、差分方程在行列式方面的

7、应用非齐次二阶常系数非齐次差分方程(6)(1)形如abbLb(ab)bbbLbcabLbcabLbccaLbccaLbMMMOM1MMMOAcccLacccLaabbbLbbbbLb0abLbcabLb0caLbccaLbMMMO/IMMMOM10ccLacccLa111L1acba0L0cabLb0acbaL0n1bccaLb(ab)Dn1b00acL0MMMOAMMMOMcccLa000LacDn(ab)D(ab)Dn1b(ac)n1由Dn(ab)Dn1b(ac)n1知Dn1(ab)Dnb(ac)n上式是一个一阶常系数非齐次线性差分方程差分方程对应的特征方程