概率论与数理统计教程习题三参考答案

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1、第三章多维随机变量及其分布习题3.11．100件商品中有50件一等品、30件二等品、20件三等品．从中任取5件，以X、Y分别表示取出的5件中一等品、二等品的件数，在以下情况下求(X,Y)的联合分布列．（1）不放回抽取；（2）有放回抽取．解：（1）(X,Y)服从多维超几何分布，X,Y的全部可能取值分别为0,1,2,3,4,5，⎛50⎞⎛30⎞⎛20⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝i⎠⎝j⎠⎝5−i−j⎠且P{X=i,Y=j}=,i=0,1,2,3,4,5;j=0,L,5−i，⎛100⎞⎜⎟⎜⎟⎝5⎠故(X,Y)的联合分布列

2、为Y012345X00.00020.00190.00660.01020.00730.001910.00320.02270.05490.05390.0182020.01850.09270.14160.06610030.04950.15620.113200040.06120.0918000050.028100000（2）(X,Y)服从多项分布，X,Y的全部可能取值分别为0,1,2,3,4,5，5!ij5−i−j且P{X=i,Y=j}=×0.5×0.3×0.2,i=0,1,2,3,4,5;j=0,L,5−i，i!⋅j!⋅(

3、5−i−j)!故(X,Y)的联合分布列为Y012345X00.000320.00240.00720.01080.00810.0024310.0040.0240.0540.0540.02025020.020.090.1350.06750030.050.150.112500040.06250.09375000050.03125000002．盒子里装有3个黑球、2个红球、2个白球，从中任取4个，以X表示取到黑球的个数，以Y表示取到红球的个数，试求P{X=Y}．⎛3⎞⎛2⎞⎛2⎞⎛3⎞⎛2⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜

4、⎟⎜⎟⎝1⎠⎝1⎠⎝2⎠⎝2⎠⎝2⎠639解：P{X=Y}=P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=2}=+=+=．⎛7⎞⎛7⎞353535⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝4⎠⎝4⎠3．口袋中有5个白球、8个黑球，从中不放回地一个接一个取出3个．如果第i次取出的是白球，则令Xi=1，否则令Xi=0，i=1,2,3．求：1（1）(X1,X2,X3)的联合分布列；（2）(X1,X2)的联合分布列．8762887570解：（1）P{(X,X,X)=(0,0,0)}=⋅⋅=，P{(X,X,X)=(0,0,1)}=⋅⋅=，1231231312

5、111431312114298577058770P{(X,X,X)=(0,1,0)}=⋅⋅=，P{(X,X,X)=(1,0,0)}=⋅⋅=，1231231312114291312114298544058440P{(X,X,X)=(0,1,1)}=⋅⋅=，P{(X,X,X)=(1,0,1)}=⋅⋅=，123123131211429131211429548405435P{(X,X,X)=(1,1,0)}=⋅⋅=，P{(X,X,X)=(1,1,1)}=⋅⋅=；12312313121142913121114387148510

6、（2）P{(X,X)=(0,0)}=⋅=，P{(X,X)=(0,1)}=⋅=，12121312391312395810545P{(X,X)=(1,0)}=⋅=，P{(X,X)=(1,1)}=⋅=．1212131239131239X201X1014/3910/39110/395/394．设随机变量Xi,i=1,2的分布列如下，且满足P{X1X2=0}=1，试求P{X1=X2}．X−101iP0.250.50.25解：因P{X1X2=0}=1，有P{X1X2≠0}=0，即P{X1=−1,X2=−1}=P{X1=−1,X2

7、=1}=P{X1=1,X2=−1}=P{X1=1,X2=1}=0，分布列为XX22−101p−101pi⋅i⋅XX11−1000.25−100.2500.2500.500.2500.250.51000.25100.2500.25p0.250.50.25p0.250.50.25⋅j⋅j故P{X1=X2}=P{X1=−1,X2=−1}+P{X1=0,X2=0}+P{X1=1,X2=1}=0．5．设随机变量(X,Y)的联合密度函数为⎧k(6−x−y),0

8、（2）P{X<1,Y<3}；（3）P{X<1.5}；4（4）P{X+Y≤4}．2+∞+∞解：（1）由正则性：∫∫p(x,y)dxdy=1，得−∞−∞x4022242⎛y⎞222∫∫0dx2k(6−x−y)dy=∫0dx⋅k⎜⎜6y−xy−⎟⎟=∫0k(6−2x)dx=k(6x−x)0=8k=1，⎝2⎠221故k=；8y3213111⎛y⎞4（2