圆内定弦内接三角形周长极值

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1、己知x^2+y^2=25，求函数T=√(8y+6x+50)+√(8y-6x+50)的最大值.方法1：x^2+y^2=25f(x,y)=(√8y-6x+50)+(√8y+6x+50)=√x^2+y^2+8y-6x+25+√x^2+y^2+8y+6x+25=√(x-3)^2+(y+4)^2+√(x+3)^2+(y+4)^2表示的几何意义是圆x^2+y^2=25上的点P(x,y)到A(3,-4)和B(-3,-4)的距离和，AB都在圆上f(x,y)=

2、PA

3、+

4、PB

5、f(x,y)=

6、PA

7、+

8、PB

9、>=

10、AB

11、=6f(x,y)=

12、PA

13、+

14、PB

15、在P是(0,5)时取得（还没想好怎么证，感

16、觉吧）=6根号10值域是[6,6根号10]回答很好，但在求最大值时，说的是凭感觉，但数学嘛，即要有感觉，还要能进行严格证明。由于点P在圆上运动时，角APB的大小始终不变，极易得COS（角APB)=4/5,设PA=m,PB=n,在三角形PAB中用余弦定理m^2+n^2-2mncos(APB)=36,(m+n)^2-36<=18/5*((m+n)/2)^2(说明，此处用了均值不等式),便可推出m+n<=6根号10，此即最大值。方法2：构造向量m=(1,1)n=(根(8y+6x+50),根(8y-6x+50))故

17、mn

18、=<

19、m

20、

21、n

22、--->T=1×根(8y+6x+50)+1×根(8

23、y-6x+50)=<根(1^2+1^2)×根[(8y+6x+50)+(8y-6x+50)]=根(32y+200)而x^2+y^2=25--->-5=T=<6根10取等号得T

24、max=6(根10)此时,易得T最大时x=0,y=5.方法3：设d1=

25、6x+8y+50

26、/10d2=

27、-6x+8y+50

28、/10则d1表示圆x^2+y^2=25上的点P(x,y)到直线L1：6x+8y+50=0的距离；d2表示圆x^2+y^2=25上的点P(x,y)到直线L1：-6x+8y+50=0的距离；T=√(8y+6x+50)+√(8y-6x+50)=√10*(√d1+√d2)=√10*√[d1+d2

29、+2√(d1*d2)]≤√10*√[d1+d2+(d1+d2)]=2√5*√(d1+d2)当d1=d2,即x=0,y=5时T取得最大值Tmax=6√10.当d1=0或d2=0时,即在切点P1(-3,-4)或P2(3,-4)处T取得最小值Tmin=6.思考：如下图：ＡＢ是定弦，Ｐ是圆周上的一动点，求证，当ＰＡ＝ＰＢ时，三角形的ＰＡＢ的周长最大。