初高中数学衔接教材：二次函数（1）

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1、二次函数（1）一、图象与性质仅讨论y＝ax2＋bx＋c(a>0)的情况1．x的取值范围为一切实数．2．y的取值范围为当x＝－时，y取得最小值.3．二次函数的三种表达方式：4．对称轴x＝－(图象关于x＝－对称)．5．1°当x1y2.2°当x2>x1≥－时，则y10Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有相异两实根x1,2＝(x10的解x>x2或x

2、∈R且x≠－x∈Rax2＋bx＋c<0的解x1

3、实数m的取值范围；(3)若A在x轴正半轴上，B在x轴负半轴上，求实数m的取值范围；(4)图象是否会经过原点？请证明你的结论．例5　已知函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足条件：(1)对称轴为x＝1；(2)y的最大值为15；(3)ax2＋bx＋c＝0的两根立方和为17.求y＝ax2＋bx＋c的表达式．例6　已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝25有一个公共点，且不等式ax2＋bx＋c>0的解是－0)当x1＝t2＋2时对应的函数值为y1，当x2＝2t2＋3时对应的函数值为y2，试比较y1与y2的大小．例8　已知二

4、次函数y＝2x2＋3mx＋2m.(1)求函数y的最小值t；(2)当m为何值时，t取得最大值．1．已知二次函数y＝kx2－(1－k)x＋k＝0的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为________．2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋2与x轴的两个交点为(－，0)，(，0)则a＝________，b＝________.3．已知二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两个根为－2,3，则不等式ax2＋bx＋c>0的解为________________．4．已知：二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝3，方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝________.5．已知

5、二次函数y＝mx2＋(m－1)x＋m－1的图象在x轴下方，求实数m的取值范围．6．已知二次函数y＝3x2－(2m＋6)x＋m＋3取值恒为非负数，求实数m的取值范围．7．已知二次函数y＝ax2－4x＋a－3，如果存在x值，使得y为负值，求实数a的取值范围．8．证明：对于任意实数k，函数y＝x2－(k＋1)x＋k的图象与x轴有公共点．9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(2,4)，其顶点的横坐标为，它的图象与x轴交点为B(x1,0)，C(x2,0)，且x＋x＝13.(1)求此二次函数的表达式；(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使得S△ABC＝2S△BDC？如果存在，请求出

6、所有满足条件的点D；如不存在，说明理由．答案精析例1　解　Δ＝[－(m＋2)]2－16＝m2＋4m－12＝(m＋6)(m－2)(1)Δ<0，－60，m>2或m<－6；(4)Δ≥0，m≥2或m≤－6.例2　解　∵图象关于x＝－2对称，又与x轴的两个交点间的距离为6，∴它在x轴上的两个交点为(－5,0)，(1,0)，∴设所求表达式为y＝a(x＋5)(x－1)，又点(－2，)在图象上，∴＝a×3×(－3)，∴a＝－，∴所求表达式为y＝－(x＋5)(x－1)＝－x2－x＋.例3　解　⇒a<－1.例4　解　Δ＝(3－m)2－4m＝m2－10m＋9＝(m

7、－1)(m－9)>0，m>9或m<1(m≠0)．设A(x1,0)，B(x2,0)(1)⇒⇒09.(3)⇒⇒m<0.(4)∵c＝1≠0且图象过点(0，c)即x＝0时，y＝c≠0.∴图象不会经过原点．例5　解　根据条件①②设二次函数的表达式为y＝a(x－1)2＋15＝ax2－2ax＋a＋15(a<0)，设方程ax2－2ax＋a＋15＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝2，x1x2＝1＋.x＋x＝(x1＋x2)