基于多元表征理论的基本不等式教学研究

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1、基于多元表征理论的教学研究——以“基本不等式”为例摘要：基于多于表征理论的教学研究是一种新的教学理念和策略，对数学知识的多元表征能让学生更好地理解和掌握数学知识．基本不等式是高中数学中较为重要的内容，可以从语言、符号、操作、情境、图形等多个视角进行表征．在数学教学中，教师应合理选择表征形式，让学生构建自己的表征方式，促进不同表征形式之间的转换，优化对数学知识的表征．关键词：多元表征；基本不等式；数学教学；思考1问题的提出在认知心理学领域，表征是指人们在自己的短时记忆和长时记忆中对信息的加工，即把一个“表征”世界和另一

2、个“被表征”的世界中的某种特性或元素建立起的某种对应关系，既可指人脑内部的心智活动的表现，又可指思维活动的外在表现；既可指表达数学关系的过程，又可指对数学关系的表示形式；既可指进行数学交流的工具，又可指进行数学交流的内容[1]．因此表征既是对客观事物的反映，又是心理活动进一步加工的过程，通常包括以下两种形式：内在表征和外在表征．在数学教育领域，表征是指可反复替代某一数学学习对象的任何符号或符号集[2]．相对于知识的单一表征，多元表征理论强调数学对象的心理表征的多层次性和多角度性，能够具体形象地凸显一个数学学习对象的多

3、元属性，而这种不同属性的多元表征可以相互补充，相互渗透，从而加深学生对于数学对象的理解．学生通过在不同属性的表征之间进行转换和转译，有助于学生对知识进行完整建构．因此教学中教师应尽量帮助学生对数学对象进行恰当合理的多元表征，形成灵活的多元表征系统，从而减少学生对数学对象学习的认知负荷．基本不等式作为高中数学教材中的一个重要命题，不少研究者对该部分内容的教学进行了探讨，但大多是基于经验的教学设计、命题的几何背景以及命题的变式应用等方面的探讨，鲜见有运用多元表征理论进行系统的研究．本文试图基于数学课程标准的教学理念，从多

4、元表征理论的视角出发，对该部分内容的教学设计进行研究．2基本不等式的知识背景基本不等式（，）是高中数学中最重要的一个不等式，也是历年高考的一个热点内容．在现行教材编排体系中，该部分内容首先出现在《数学5》（必修）中的第三章第四节内容，其次在《选修4-5》中的第一讲内容再次出现．必修5教材对不等式的研究是从背景引入、抽象提炼、证明方法、几何意义、变式引申、拓展应用等六个方面展开教学的．基本不等式结构简单，均匀对称，通过两个正实数之间的运算分别得出它们的几何平均数和算术平均数，进而找到它们之间的内在规律[3]．因此在基本

5、不等式的教学过程中，应着重让学生应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同的角度探索基本不等式（，）的证明过程．值得注意的是，教学时应引导学生领会基本不等式（，6）成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等），以及在求解与实际问题有关的最大、最小值中的作用．其中用基本不等式求最大值、最小值是难点，不少学生在学习过程中往往会出现以下错误：（1）在使用基本不等式求最值时，容易忽视其存在的前提“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可；（2）在多次使用均值不等式时，要求同时满足任何一次的字母的取值存在且一致，而学生在求解

6、过程中等号成立条件中的变量的取值范围发生了变化，依然强行取得最值往往导致错误．分析其错误原因，主要在于学生在学习过程中没有真正理解基本不等式的来龙去脉．因此，基于多元表征理论的视角来设计基本不等式的教学时，应该注重从它的产生背景入手帮助学生体会公式存在的前提，创设多种表征促使学生掌握基本不等式的结构特征等方面着手，促进学生自我探究各种表征间的内在联系，从而领会基本不等式的实质，发展学生的思维能力．3基本不等式的多元表征数学的多元表征可以从不同角度对数学对象进行阐述，不仅丰富了知识的内涵和外延，而且使每种表征形式之间相

7、互补充，进而促进学生对数学对象本质的感悟．下面我们将通过语言表征、符号表征、操作表征、情境表征、图形表征和代数表征等视角对基本不等式（，）进行探究．（1）语言表征两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．语言是人与人之间进行有效交流的工具，对于学生来说，规范地使用数学语言来表征数学知识，就能够很好地与他人进行数学交流．数学语言表征可以使学生的数学思维具有可见性，促使学生反思自己的知识以及解决问题的方法，从而有助于学生思维的进一步发展[4]．因此通过学习使用准确的数学语言可以促进学生的数学表达交流能力，提高他们的数

8、学化语言素养．由于语言表征向学生传递的仅仅是简单的文字信息，该信息组块很可能只是进入了学生的短时记忆区，因此学生大多只是从直观上来感悟这两个代数表达式之间的关系，还需要其他的数学表征方式进行补充．（2）符号表征（，）．符号表征的一个突出特点就是很好地体现了数学的简洁之美，可以把大量的文字信息浓缩为几个有限的符号．对于初学者来说，“（，）”呈现的