初高中数学衔接教材：数与式的运算（2）

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1、数与式的运算（2）一、比例与齐次式我们在式的运算中，常常会碰到比例关系或齐次等式、齐次分式，这就要求我们掌握比例关系具有哪些性质和它的一般转化方向；齐次式常常会同除以某一个数，转化过程在本质上起到消元作用，从而会出现整体思想．例1　已知三角形的三边长之比为3∶4∶5.求证：此三角形为直角三角形．例2　已知：＝.求证：(1)＝；(2)＝；(3)＝＝.例3　已知△ABC中，有＝，求证：＝.例4　已知：a＋b＝1且＝，求a和b.例5　已知y＝2x(x≠0)．(1)求的值．(2)求证：x2＋xy－y2＝0.例6　已知：x∶y

2、∶z＝1∶2∶3.求的值．二、二次根式一般地，形如(a≥0)的代数式叫做二次根式．其运算性质如下：1．()2＝a(a≥0)．2.＝

3、a

4、.3.＝·(a≥0，b≥0)．4.＝(a>0，b≥0)．例7　将下列式子化为最简根式．(1)；(2)(a≥0)；(3)(x<0)．例8　试比较下列各组数的大小．(1)－和－；(2)和2－.例9　化简：(＋)2012·(－)2013.例10　化简：(1)；(2)(00，y>0，x＋2－15y＝0.

5、求的值．例13　化简：＋.1．若＝＝＝k，则k＝________.2．已知：x2－3xy＋2y2＝0，则＝________.3．已知x∶y＝1∶2，求：的值．4．已知：x2＋5xy－6y2＝0，求：的值．5．已知三角形的三边之比为5∶12∶13.求证：此三角形为直角三角形．6．已知：a2＝b2＋c2(a>0，b>0，c>0)．(1)＝，求的值．(2)≥，求的取值范围．7．已知：a2＋b2＝c2(a>0，b>0，c>0)．(1)＝，求的值．(2)≥，求的取值范围．8．已知a∶b∶c＝2∶3∶4，求的值．9．化简下列各式

6、．(1)；(2)＋＋＋…＋10．已知：x＝，求的值．11．计算：×－＋.12．已知：x＝a＋(a>0)，化简：.答案精析例1　证明　设三角形的三边分别为a，b，c，∵a∶b∶c＝3∶4∶5，设a＝3k，b＝4k，c＝5k，k>0，∵a2＋b2＝9k2＋16k2＝(5k)2＝c2，∴三角形为直角三角形．例2　证明　(1)∵＝，∴－1＝－1，＝.(2)∵＋1＝＋1，∴＝.(3)设＝＝k，则a＝kb，c＝kd，＝＝k，∴＝＝.例3　证明　∵＝，由例2可知：＝，∴＝，即＝.例4　解　∵＝＝＝3，∴b＝，a＝.例5　(1)解

7、　原式＝＝－.(2)证明　原式＝x2[1＋()－()2]＝0.例6　解　设x＝k，y＝2k，z＝3k，原式＝＝.例7　解　(1)2　(2)a　(3)－2x3.例8　解　(1)∵＋>＋>0，∴<，∴－<－.(2)∵2－＝，又∵4>2，∴<＝2－.例9　解　原式＝(＋)2012(－)2012(－)＝－.例10　解　(1)原式＝＝＝

8、2－

9、＝－2.(2)原式＝＝

10、x－

11、＝－x(∵00，∴x＝9y，原式

12、＝.例13　解　原式＝

13、x＋3

14、＋

15、x－2

16、＝.强化训练1.　2.2或13．解　由y＝2x，得：原式＝＝.4．解　由条件得：x＝－6y或x＝y，∴原式＝或5.5．证明　设a∶b∶c＝5∶12∶13，则a＝5k，b＝12k，c＝13k(k>0)　a2＋b2＝(25＋144)k2＝(13k)2＝c2.所以三角形为直角三角形．6．解　(1)＝　(2)0<≤7．解　(1)＝2,1＋()2＝2，()2＝1，＝1(∵a>0，b>0)(2)≥2,1＋≥2，()2≥1，≥1(∵a>0，b>0)．8．解　设a＝2k，b＝3k，c＝4k

17、，原式＝－.9．解　(1)－1；(2)910．解　x2＝，＝，x2＋＝7，原式＝＝.11．解　原式＝××－

18、－2

19、＋(－2)＝2.12．解　＝＝＋，＝

20、－

21、，a>1时，＝－，原式＝＝a.a＝1时，x＝2，原式＝1.0