高考数学课时作业堂堂清复习题31

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1、算术平均数与几何平均数时间：45分钟　　　　分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．设a>0，b>0，下列不等式中不成立的是(　　)A.＋≥2　　　　B．a2＋b2≥2abC.＋≥a＋bD.＋≥2＋解析：由>0且>0，得＋≥2＝2，所以A成立，B显然成立．不等式C可变形为a3＋b3≥a2b＋ab2⇔(a2－b2)(a－b)≥0⇔(a－b)2(a＋b)≥0，所以C成立．答案：D2．已知p＝a＋，q＝()x2－2，其中a>2,x∈R，则p，q的大小关系为(　　)A．p≥qB．p>qC．p

2、2＝4，当且仅当a＝3时，取得等号；而由于x2－2≥－2，故q＝()x2－2≤()－2＝4，当且仅当x＝0时，取得等号，故p≥q.答案：A3．“a＝”是“对任意的正数x,2x＋≥1”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：a＝⇒2x＋＝2x＋≥2＝1，另一方面对任意正数x,2x＋≥1成立，只要2x＋≥2＝2≥1，解得a≥.答案：A4．当a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　　)A．ab≤B．ab≥C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3解析：∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∴4＝(a＋b)2＝a2＋b2＋

3、2ab≤2(a2＋b2)，即a2＋b2≥2.答案：C5．(·天津高考)设a>0，b>0.若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)A．8B．4C．1D.解析：是3a与3b的等比中项⇒3a·3b＝3⇒3a＋b＝3⇒a＋b＝1，∵a>0，b>0，∴≤＝⇒ab≤.∴＋＝＝≥＝4.答案：B6．(·湖北宜昌)设M是△ABC内一点，且·＝2，∠BAC＝30°，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f(M)＝(，x，y)，则＋的最小值是(　　)A．18B．16C．9D．8解析：由·＝2及∠BAC＝30°可

4、计算出△ABC的面积为1，而由已知条件可知x＋y＋＝1，从而可得x＋y＝，进一步可求出＋的最小值为18，故应选择A.答案：A二、填空题(每小题5分，共7．已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则x·y的最大值为__________．解析：xy＝x·4y≤()2＝，当且仅当x＝4y＝时取等号．答案：8．设a、b为正数，且a＋b＝1，则＋的最小值是______．解析：a＋b＝1，＋＝(a＋b)(＋)＝＋1＋＋≥＋2＝＋2＝＋(当且仅当＝，即2a2＝b2时取等号)．答案：＋9．(·重庆诊断)已知a>0，b>0且a＋b＝2，若S＝a2＋b2＋2，则S的最大值

5、为________．解析：由题意得a＋b≥2，0<≤1，S＝a2＋b2＋2＝(a＋b)2－2ab＋2＝－2(－)2＋≤，当且仅当ab＝时取得等号，因此S的最大值是.答案：10．(·泉州质检)已知球O1，球O2的半径分别为1、r，体积分别为V1、V2，表面积分别为S1、S2，当r∈(1，＋∞)时，的取值范围是________．解析：＝＝·＝·＝·＝[(r＋1)＋－1]>.答案：(，＋∞)三、解答题(共50分)11．(15分)已知a，b，c为不全相等的正数．求证：＋＋>3.证明：证法1：左式＝(＋)＋(＋)＋(＋)－3.∵a，b，c为不全相等的正数，

6、∴＋≥2，＋≥2，＋≥2，且等号不同时成立．∴(＋)＋(＋)＋(＋)－3>6－3＝3.即＋＋>3.证法2：左式＝(－2)＋(－2)＋(－2)＝(a＋b＋c)(＋＋)－6.∵a，b，c为不全相等的正数，∴(a＋b＋c)(＋＋)－6>3·3－6＝9－6＝3.即＋＋>3.12．(15分)已知a、b∈(0，＋∞)，a2＋＝1，求a的最大值．解：由已知得b2＝2－2a2，a变形为a＝·a，∴a＝a＝·a·≤＝×＝.当且仅当a＝，即a＝时，a的最大值是.图113．(如图1，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的

7、面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab＝9000.①广告的高为a＋为2b＋25，其中a>0，b>0.∴广告的面积S＝(a＋2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18500＋25a＋40b≥18500＋2＝18500＋2＝24500，当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b＝a，代入①式得a＝1而b＝75，即当a＝1＝75时，S取得最小值为24500.故广告的高为140cm，宽为17

8、5cm时，可使广告的面积最小．