勾股定理“小诊所”

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1、福娃“小诊所”——勾股定理篇江苏刘顿勾股定理是几何中的一个应用非常广泛的定理，不少同学由于学习过于马虎，在具体作业时总会出现形形色色的错误，为方便同学们能及时走出误区，现就同学们常见的错误剖析如下．　　一、受勾3股4的影响，忽视分情况讨论例1　一个直角三角形的两边长分别为3和4，求第三边长的平方．错解　因为两边长分别为3和4，所以由勾3股4弦5可知，第三边的长为5，所以第三边长的平方为25．剖析　题目中并没有指出3和4是直角三角形的两条直角边，造成错误的原因应该是思维定势，受勾3股4的影响而忽视分情况讨论．正解　分两种情况：若已知的两边是直角边，则第三边是斜边．根据勾股定

2、理，得斜边2＝32+42＝52．所以第三边的平方为25．若已知的两边是一条直角边和斜边，则较大的是斜边，第三边是另一条直角边．根据勾股定理，得直角边2＝42－32＝7．所以第三边长的平方为7．　　二、忽视勾股定理的存在条件是直角三角形中运用例2　在边长都为整数的△ABC中，AB＞AC，如果AC＝4cm，BC＝3cm，求AB的长．错解　因为AB＞AC，所以由勾股定理，得AB2＝AC2+BC2＝42+32＝25＝52．所以AB＝5cm．剖析　此题没有指明△ABC是直角三角形，因此不能使用勾股定理求解．正解　由三角形三边关系定理，得从AC－BC＜AB＜AC+BC知，4＜AB＜7

3、，又AB是整数，所以AB等于5cm或6cm．三、忽视勾股定理表达式中的结构特点例3　在△ABC中，∠A＝90°，a＝13，b＝5，求边c．错解　由勾股定理，得a2+b2＝c2，所以c＝＝．剖析　本题的求解错误在于忽视勾股定理的本质特点，只注意了表面形式，即当∠C＝90°时，勾股定理的表达式为a2+b2＝c2；而当∠A＝90°时，勾股定理的表达式应为b2+c2＝第2页共2页a2．正解　因为在△ABC中，∠A＝90°，所以由勾股定理，得c2+b2＝a2，所以c＝＝＝＝12．四、忽视对图形的讨论例4　已知△ABC中，AB＝20，AC＝15，CB边上的高为12，求△ABC的面积．

4、错解　如图1，在Rt△ABD中，BD＝＝16，在Rt△ACD中，CD＝＝9．所以BC＝16+9＝25，所以S△ABC＝BC×AD＝×25×12＝150．剖析　本题的错解中只考虑三角形的高在三角形的内部的情况，忽视了高还有可能在三角形外的情况．正解　由勾股定理，得BD＝＝16，CD＝＝9．如图1，S△ABC＝BC×AD＝×25×12＝150；如图2，S△ABC＝BC×AD＝×12×7＝42．所以△ABC的面积为150或42．图1DCBA图2DCBA第2页共2页