初三数学复习专题：圆精品文档

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1、初三数学复习（八）圆一、复习要求理解并掌握圆的基本性质，特别是对圆的对称性的认识，直线和圆的位置关系是复习的重点，把圆的知识与其它知识相结合（如相似三角形、解直角三角形等）是解决问题、学会方法的关键．二、知识结构圆心、半径、直径有关概念弧、弦、弦心距三角形的外接圆、圆的内接三角形、四边形、正多边形圆不在同一直线上的三点确定一个圆圆的基本性质圆的对称性→垂径定理及其逆定理圆心角定理→等分圆周圆的旋转不变形→正多边形圆周角定理及其逆定理直线与圆的相切→切点、切线、切线长定理圆与直线直线与圆相交→割线、割线定理（切割线定理）两圆

2、的连心线圆与圆两圆的公切线两圆的公共弦1.轴对称性在圆中得到充分的表现，理解并掌握对称性对理解、运用圆的的一些性质是十分重要的，从下面的几个图形中，你从直观的图形即可对定理的内容一目了然．垂径定理：直径AB垂直于弦CD，则⌒⌒⌒⌒PC＝PD，BC＝BD，AC＝AD.切线长定理：PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，则PA＝PB，PO平分∠APB.若⊙O1和⊙O2相交于点A、B.则O1O2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　垂直平分公共弦AB.　　　　　若AB、CD是⊙O1、⊙O2的两条公切线（A、B、C、D为切点），则A

3、B＝CD.72.与圆有关的角我们知道，圆心角、圆周角和弦切角是与圆有关的角，在同圆或等圆中，这些角的度数与它们相应的弧联系在一起的，因此，要重视这些角之间的关系和它的应用．特别是“同弧所对的圆心角是圆周角（或弦切角）的2倍”，“直径所对的圆周角是直角”等更有用处．例如图，△ABC中，∠A＝52o，O是AB、AC的垂直平分线的交点，则∠OCB＝o.若是利用三角形的内角和等于180o，是可以求得∠OCB的度数，但是如果从垂直平分线的交点联想到外心、外接圆，那么解题将会更有新意．∵∠A＝52o，∴∠BOC＝104o.则∠OCB＝

4、∠OBC＝38o.3.相交弦定理、割线定理（切割线定理）也应当是复习中的重要内容，首先应当清楚，这些定理的获得都是通过相似三角形．因此它们是解决与圆有关的比例线段问题的重要手段．例如图，PT切⊙0于点T，PAB、PAD是⊙0的割线，弦AB＝35cm，AC:DB＝1:2，求PT的长．解∵△PAC∽△PDB,∴＝＝＝.则2PA＝PD＝50＋PC.2PC＝PB＝35＋PA.解得PA＝45，PC＝40.由切割线定理得，PT2＝PA·PB＝45×80则PT＝60.这些定理的应用十分广泛，它不仅可以解决线段成比例的问题，而且对证线段相

5、等，两角相等以及两直线的平行、垂直等问题也起到不小的作用．例如图，ADB和AEC都是⊙O的割线，AP∥ED，交CB的延长线于点P，PF与⊙O相切于点F.求证：PF＝PA.分析由切割线定理知，PF2＝PB·PC.要证PF＝PA，即证PA2＝PB·PC．因此，只要证得△PAB∽△PCA即可．证明∵四边形BCED内接于⊙O,∴∠ADE＝∠C.又∵AP∥ED，　∴　∠PAB＝∠ADE＝∠C.在△PAB和△PCA中，∵∠PAB＝∠C，∠APB＝∠CPA，∴△PAB∽△PCA.则PA2＝PB·PC．由切割线定理，得PF2＝PB·PC．

6、∴PA2＝PF2，即PA＝PF.4.圆中有不少基本图形，这些图形对证题、解题都会带来一些有规律的方法，因此了解它们无疑是有帮助的，下面举出两例供大家复习参考，并请你想想，是否还有其它有规律的图形呢？例１如图，直线l是半径为6cm和2cm两圆的外公切线，当两圆外切时，外公切线长为cm，两条外公切线的夹角为o.7从左图中不难得出，在Rt△O1O2M中，O1O2＝6＋2＝8(cm)O1M＝6－2＝4(cm)则外公切线长AB＝O2M＝＝4(cm)或∵sin∠O1O2M＝＝＝,∴∠O1O2M＝30o.则AB＝O2M＝O1O2·co

7、s30o＝8×＝4(cm).由O2M∥AB知∠APO1＝∠MO2O1＝30o；由圆的轴对称性知∠APE＝60o.从此题中可见，当两圆相交、外切或外离时，通过平移外公切线的方法，就一定可以得到一个直角三角形，它的三条边分别为两圆半径差、外公切线长和圆心距（斜边），只要这个直角三角形是可解的，那么许多问题将会迎刃而解．例２已知：如图，⊙O和⊙O1相交于点A、B，⊙O1过O点，P是⊙O1上的一点，连结PA、PO、OA，PO与AB相交于C点．求证：OA2＝OC·OP证明连结OB.⌒∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB.又∵∠P＝∠B＝A

8、O的度数．　∴∠P＝∠OAB.在△AOC和△POA中，∵∠P＝∠OAB，∠AOP＝∠COA，∴△AOC∽△POA.则＝，即OA2＝OC·OP．从此题中可见，当一圆通过另一个圆的圆心时，就一定会获得以下的结论．如图，若⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⌒⌒且⊙O1经过点O，则有：(1)AO2＝BO2ÞAO2