26.1 二次函数 教案1

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http://www.czsx.com.cn二次函数本章概况本章由三个部分构成．1．二次函数的图象与性质．2．二次函数与一元二次方程之间的关系．3．二次函数的实际应用．知识方面，它是在一次函数，反比例函数的基础上，对函数认识的完善与提高；也是对方程的理解的补充同时，也是以后学习初等函数的基础．本章配有丰富的实际应用实例，让学生充分感受到数学的应用价值与实际意义，激发学生学习数学的热情，让他们在应用中得到锻炼，各方面能力得到提高．本章教学目标1．知识与技能(l)了解二次函数的定义，能用表格、表达式、图象来表示变量之间的二次函数关系．(2)会用描点法作出二次函数图象．(3)理解二次函数图象及其性质，能根据二次函数表达式确定二次函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标．(4)理解一元二次方程与二次函数之间的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．(5)能利用二次函数解决实际问题，发展学生的数学应用能力．2．过程与方法(l)经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数字的方法描述变量之间的数量关系．(2)经历二次函数图象的探索过程，从简单到复杂，从特殊到一般，逐步探索，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．（可采用联想、对比、概括和反思等方法）(3)进一步加强用函数观点来解决实际问题的能力．3．情感、态度与价值观通过作图、类比、总结与归纳，逐步完善对二次函数图象及其性质的认识，积累与人合作、探究、交流的经验．获得相应的知识与技能．通过二次函数的大量实际应用，获得用函数解决实际问题的经验，体会二次函数的意义与价值．本章重点难点1．重点第6页共6页 http://www.czsx.com.cn了解二次函数的含义，理解二次函数的图象及其性质．能用二次函数的性质解决实际问题，体会一元二次方程与二次函数的关系．2．难点(l)逐步获得二次函数图象特征及其性质．(2)应用二次函数解决实际间题．本章课时分配内容课时26.1二次函数526.2用函数观点看一元二次方程226.3实际问题与二次函数3本章总结提升2本章教学建议1．在利用函数图像讨论二次函数的性质时，要放慢节奏，逐步理解、完善．要充分结合点的坐标的意义及实际问题中包含的特定意义，来理解函数的图象与性质.2．加强数形结合的思想，达到数形互补，从而提高学生的分析能力．3．在讨论二次函数图象的对称轴和顶点坐标时，要尽量引导学生进行图象与图象之间的比较，表达式与表达式之间的比较，建立图形和表达式之间的联系，以达到学生对二次函数图象的对称轴、顶点坐标公式的理解．4．注意小规律的理解与总结强调解决实际问题的注意事项．（如平面直角坐标系的建立，横轴、纵轴的实际意义，自变量的取值范围等）26.1二次函数教学目标1．知识与技能能够表示简单变量间的二次函数关系．理解二次函数的意义与特征，提高学生的分析，概括的能力.2．过程与方法逐个探求不同实例中两个变量之间的关系，后总结、概括，得出二次函数的定义，获得用二次函数来表示变量之间关系的体验.3．情感、态度与价值观进一步增强用数学方法解决实际问题的能力，体会二次函数在广泛应用中的作用．第6页共6页 http://www.czsx.com.cn教学重点难点1．重点二次函数实例分析、二次函数定义的理解2．难点从实例中抽象出二次函数的定义，会分析实例中的二次函数关系．教与学互动设计（一）创设情境导入新课导语一回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，它们为解决实际问题起了很大的作用，从而导人新课导语二观察海湾战争期间，导弹拦截的瞬间图片（或在黑板画出示意图）．思考：为何导弹长了眼睛，它的运动路线有何规律呢？这些需要我们对函数作进一步了解，从而导人新课．导语三观察喷泉水的流动弧线，篮球运动的路线……探究这些优美的弧线与什么函数有关呢？（二）合作交流解读探究1．用自变量的二次式表示函数关系【想一想】①正方体的棱长为x，表面积为y，则y＝6x2．（用含x的代数式表示）②圆的面积为S，半径为R，则S=лr2（用含R的代数式表示）【探究l】多边形的对角线d与边数n有什么关系？【思路分析】从多边形的一个顶点出发，可以作多少条对角线？从n个顶点出发，又可以作多少条对角线？【答案】从多边形的一个顶点出发，可以作（n－3）条对角线，从n个顶点出发，可以作·n·（n－3）条对角线.即d=·n·（n－3）.【点评】思路是从简单到复杂．【易错点】对关系式中不很理解.【探究2】某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍那么，两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定．y与x之间的关系应怎样表示？【解析】一年后的产量为20(1+x).第6页共6页 http://www.czsx.com.cn再过一年后的产量为20(1+x)2.即两年后的产量为20(1+x)2.【答案】y=20(1+x)2【点评】此题必须理解每一年的产量.2．二次函数的定义观察比较以下关系式①y=bx2；②d=n·（n－3）即；③y=20(1+x)2即y=20x2+40x+20函数①②③有什么共同点与不同点．共同点：A.等式的左边为函数，等式的右边为自变量的二次式B．等式的右边可统一为“ax2+bx+c”的形式．二次函数：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b，c是常数，a≠0）的函数，叫二次函数．【注意】①函数y=ax2+bx+c中，a≠0是必要条件，切不可忽视．而b，c的值可以为任何实数．②定义是关于x的二次整式（切不可把“y=x2++3，也当成二次函数)（三）应用迁移巩固提高类型之一二次函数定义的判定及其应用例1下列函数是二次函数的有A.y=8x2+1B.y=2x－3C.y=3x2+D.y=【解析】A符合二次函数定义，故它是二次函数．B.是一次函数．C,D都出现分式，故C,D都不是二次函数.【答案】A【点评】紧扣定义中的两个特征：①a≠0；②ax2+bx+c是整式（二次三项式）.变式题若y=(b－1)x2+3是二次函数，则b≠1.类型之一实际问题中的二次函数例2一个正方形的边长是12cm.若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x+1)cm的小长方形.剩余的部分的面积为ycm2.（1）写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数.（2）当小长方形的长中x的值为2，4时，相应的剩余部分面积是多少？【分析】可画出示意图，剩余面积=正方形面积－小长方形面积.第6页共6页 http://www.czsx.com.cn解：（1）y=122－2x(x+1),即y=－2x2－2x+144∴y是x的二次函数.（2）当x=2，4时，相应的y的值分别为132cm2，104cm2.【点评】几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来.变式题一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.【分析】S表=S侧+2S底解：S侧=2лr·r=2лr2，S底=лr2，∴S表=2S底+S侧=2лr2+2лr2=4лr2.【点评】S侧=Ch=2лr·h.此公式易记错，需借助侧面展开图加强理解.例2n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式.【分析】将n支球队看作是平面内的n各点（任意三点不在同一直线），再将任意两点作为线段的端点连接起来，找出共有多少条线段即可.解：m=n·（n－1），即m=n2－n.【点评】这类问题可用数形结合的方法来研究，很直观。（四）总结反思拓展升华【点评】1.通过实际问题情境，引入二次函数的概念，让学生在观察、归纳中加深对二次函数的理解与掌握.2.二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数称为y关于x的二次函数.【反思】二次函数与一次函数有哪些异同？与反比例函数有哪些异同？【拓展】如果函数是y关于x的二次函数，则k的值为多少?【分析】紧扣二次函数定义.解：根据题意知∴k=2.【特别注意】易错点为忽视k≠0的条件.（五）当堂检测反馈1.二次函数y=ax2中，当x=1时，y=2，则a=2.第6页共6页 http://www.czsx.com.cn【解析】将x=1，y=2，代入y=ax2中，解得a=2.2.已知函数y=(a+2)x2+x+3是二次函数，则常数a的取值范围是a≠－2.【解析】∵二次函数中二次项系数不能为0.∴a+2≠0,即a≠－23.下列函数中是二次函数的是（C）A.B.y=x2－(x+1)2C.D.y=x2+x－1－2【分析】只有C满足二次函数的定义4.设y=y1－y2，y1与成反比列，y2与x2成正比列，则y与x的函数关系是（C）A.正比列函数B.反比列函数C.二次函数D.一次函数【解析】∵y1与成反比列，∴可设，即y1=k1x（k1≠0）.∵y2与x2成正比列，∴可设y2=k2x2（k2≠0）∴y=y1－y2=k1x－k2x2，∴y是x的二次函数.5．已知：函数y=(m+1)+(m－1)x(m是常数)(1)m为何值时，它是二次函数？(2)m为何值时，它是一次函数？解：(1)由得∴m=4，即m=4时，它是二次函数.(2)当m=－1时，原函数为y=－2x.当m2－3m－2=1时，.∴m=－1或或时，它是一次函数6．m个人参加一次会议，他们之间任意两人握一次手，则他们握手的总次数y与人数m之间有何关系？解：【点评】与例3的方法完全一样.第6页共6页