例析《勾股定理》特色题

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1、点击《勾股定理》之特色题本文将在各地课改实验区的中考试题中，涉及《勾股定理》知识内容的特色创新题采撷几例，供读者学习鉴赏．一、清新扮靓的规律探究题例1（成都市）如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面积为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为，…，（n为正整数），那么第8个正方形的面积＝_______．【解析】：求解这类题目的常见策略是：“从特殊到一般”．即是先通过观察几个特殊的数式中的变数与不变数，得出一般规律，然后再利用其一般规律求解所要解决的问题．对于此题，由勾股定理、正方形的面

2、积计算公式易求得：，照此规律可知：，观察数1、2、4、8、16易知：，于是可知因此，二、考查阅读理解能力的材料分析题例2（临安）阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为的三边，且满足，试判断的形状．解：-10-问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为：（3）本题正确的结论为：.【解析】：材料阅读题是近年中考的热点命题，其类型多种多样，本题属于“判断纠错型”题目．集中考查了因式分解、勾股定理等知识．在由得到等式没有错，错在将这个等式两边同除了一个可能为零的式子．若，则有，从而得，这时，为等腰三角形．因此：(1)选C．(2)没有考虑(3)三、渗透新

3、课程理念的图形拼接题例3（长春）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图所示．要求：在答题卡的两个备用图中分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长．（请同学们先用铅笔画现草图，确定后再用0.5毫米的黑色签字笔画出正确的图形）示例图备用图【解析】：要在Rt△ABC的外部拼接一个-10-合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定；要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识．下面四种拼接方法可供参考．四、极具“热点”的

4、动态探究题例4（泉州）:如图１，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为．⑴求AO与BO的长；⑵若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米?【解析】：对于没有学习解直角三角形知识的同学而言，求解此题有一定的难度．但若是利用等边三角形就可以推出的一个性质：“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，结合勾股定理求解，还是容易解答的．⑴中,∠O=,∠α=∴,∠OAB=，又ＡＢ＝4米，∴米.由勾股定理得：（米）.⑵设在中,

5、-10-根据勾股定理:∴-∴∵　　∴∴所以，AC=2x=即梯子顶端A沿NO下滑了米.-10-勾股定理中的常见题型例析勾股定理是几何计算中运用最多的一个知识点．考查的主要方式是将其综合到几何应用的解答题中，常见的题型有以下几种：一、探究开放题例1如图1，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去……．（1）记正方形ABCD的边长为＝1，依上述方法所作的正方形的边长依次为，，，…，，求出，，的值．（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长的表达式．分析：依次运用勾股定理求出a2，a

6、3，a4，再观察、归纳出一般规律．解：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD=AD=1．由勾股定理，得AC＝，同理，AE=2，EH=．即a2=，a3=2，a4=．(2)∵，，，，∴．点拨：探究开放题形式新颖、思考方向不确定，因此综合性和逻辑性较强，它着力于考查观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力，对提高同学们的思维品质和解决问题的能力具有十分重要的作用．二、动手操作题例2如图2，图（１）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．图（２）是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．-10-（１）画出拼成

7、的这个图形的示意图，写出它是什么图形；（２）用这个图形证明勾股定理；（３）假设图（１）中的直角三角形有苦干个，你能运用图（１）所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）．解：（1）所拼图形图3所示，它是一个直角梯形．（2）由于这个梯形的两底分别为a、b，腰为（a+b），所以梯形的面积为．又因为这个梯形的面积等于三个直角三角形的面积和，所以梯形的面积又可表示为：．∴．∴．（3）所拼图形如图4．点拨