专题一函数与方程的数学思想

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1、专题一.函数与方程的数学思想【知识概要】1．函数的思想，就是运用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的等量关系，建立或构造函数关系，再运用函数的图象和性质去分析问题，达到转化问题的目的，从而使问题获得解决．方程的思想，就是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型——方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．函数与方程的思想是中学数学的基本思想，高考试题中考查函数与方程思想的题目占较大的比例，题型涉及选择题、填空题、解答题，难度有难有易，且试题中的大部分压轴题

2、与函数方程思想都有关．2．运用函数观点解决问题主要从下面四个方面着手：一是根据方程与函数的密切关系，可将二元方程转化为函数来解决；二是根据不等式与函数的密切关系，常将不等式问题转化为函数问题，利用函数的图象和性质进行处理；三是在解决实际问题中，常涉及到最值问题，通常是通过建立目标函数，利用求函数最值的方法加以解决；四是中学数学中的某些数学模型（如数列的通项或前n项和、含有一个未知量的二项式等）可转化为函数问题，利用函数相关知识或借助处理函数问题的方法进行解决．运用方程观点解决问题主要从以下四个方面着手：一是把问题中对立的已知与未知建立相等关系统一

3、在方程中，通过解方程解决；二是从分析问题的结构入手，找出主要矛盾，抓住某一个关键变量，将等式看成关于这个主变元（常称为主元）的方程，利用方程的特征解决；三是根据几个变量间的关系，符合某些方程的性质和特征（如利用根与系数的关系构造方程等），通过研究方程所具有的性质和特征解决；四是中学数学中常见的数学模型（如函数、曲线等），经常转化为方程问题去解决．【范例精选】1.⑴如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将四个维修点的这批配件分别调整为，，，件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调

4、整，最少的调动件次（件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为）为（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．⑵不等式4x+log3x+x2＞5的解集为（　　）A．R　　　　　B．R*　　　　　C．｛x

5、x＞1｝　　　　　D．｛x

6、x＞2｝⑶对任意a∈[-1,1]，函数f（x）=x2+（a－4）x+4－2a的值总大于零，则x的取值范围是（　　）A．1＜x＜3　　　　B．x＜1或x＞3　　　　C．1＜x＜2　　　　D．x＜1或x＞22.已知f（x）=lg，且f（1）=0，当x＞0时，总有f（x）－f（）=lgx．⑴求f（x）的解析式；⑵若方程f（x）=lg（m

7、+x）的解集是，求实数m的取值范围．3.如图所示，等腰三角形△ABC的底边AB=，高CD=3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACEF的体积。（1）求V(x)的表达式；（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。4.已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．⑴设点的坐标为，证明：；⑵求四边形的面积的最小值．【专题训练】1.关

8、于x的方程9x+(a+4)·3x+4=0有解，则实数a的取值范围是（）A.（-∞，-8]∪[0，+∞）B.（-∞，-4）C.[-8，4）D.（-∞，-8]2.已知，（a、b、c∈R），则有（）A.B.C.D.3.设是[－1,1]上的增函数，且，则方程在[－1,1]内（　　）　A.可能有3个实数根　　B.可能有2个实数根　　C.有唯一实数根　　D.没有实根4.二次函数是正整数），，方程有两个小于1的不等正根，则a的最小值为（　）A．2B．3C．4D．55.已知f(x)=3x－2,则f--1(3x－2)=__________.6.在等差数列中，s是其前

9、n项和，公差为，若s=s(m≠n)，则s=.7.已知，t∈[，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式恒成立，求x的取值范围。8.已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A(，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A1与A点关于直线y=x对称(1)求双曲线C的方程(2)设直线l过点A，斜率为k,当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为，试求k的值及此时B点的坐标9.已知函数f(x)=6x–6x2，设函数g1(x)=f(x),g2(x)=f［g1(x)］,g3(x)=f［g2(x)］,…gn(x)=f［gn–1(x

10、)］,…（1）求证：如果存在一个实数x0，满足g1(x0)=x0，那么对一切n∈N，gn(x0)=x0都成立；（2）若实数