国外教材中关于连续复利讲授的种种错误

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1、国外教材中关于连续复利讲授的种种错误　　摘要：本文分析说明，国外各学科教材中关于连续复利的认识和应用都是错误的。关键词：年利率；增长率；连续复利1.问题的提出通常国外教材[1-5]中讲的连续复利是：设初始资金为A0，年利率为r，按复利计算，t年后资金总额为文[6、7]已经详细分析了连续复利公式（3）推导中的问题。连续复利这种概念长时期存在于多学科国外的教材中，但其论述都是不对的。2.推证中的问题例12006年机械工业出版社出版的《微积分及其应用》（英文第8版翻译本）用解微分方程和求极限两种方法推证了连续复利模型。“例4商业：永续复利（这里的”永续复利”即一般书中的连续复利；这个词在

2、该书中第一次出现就是在这个例题中―本文注）假设投入资金p0到储蓄中，年永续复利率为7%，即结存p的增长率为a）根据所给出的p0和0.07，求满足这个方程的函数。b）假设投资100美元，1年后结存是多少？9c）多少时间之后所投资的100美元能翻一番？解：a）P（t）=P0e0.07tb）p（1）=100e0.07（1）=100e0.07=100（1.072508）≈107.25美元c）求时间T，使得P（T）=200美元，数T称为倍增时间（doublingtime），为了求T，解方程200=100e0.07.T2=e0.07T在这本《微积分及其应用》用微分方程方法证明连续复利模型的过程

3、中，通过具体数值，从dpdt=0.07p和初始条件p（0）=p0推出了p（t）=p0e0.07t。这也就是从dpdt=kp和初始条件p（0）=p0推出p（t）=p0ekt。用极限方法证明连续复利模型的过程中，用到了A=p0（1+kn）nt。这就是说用dpdt=kp（初始条件p（0）=p0）与A=p0（1+kn）nt都能推出p（t）=p0ekt，并且两种推证方法中用到的是相同的参数k，这就更容易让人相信连续复利法的正确性。这里存在的问题是，尽管在这个例题中把参数k解释为年永续复利率，但参数k的含义是什么还是需要做进一步分析。9如果给出的k是连续复利率，在极限推导方法中，构成的式子A=

4、p0（1+kn）nt已不是复利分期计算模型（2）。这应当是已经说不清含义的一个式子；在方程推导方法中，根据所谓连续复利率k=0.07得出dpdt=kp，也缺乏确切的根据。这如同根据连续化后的式子A（t）=A0（1+r）t（t取实数中）中的r得出dpdt=rp缺乏确切的根据一样。如果k是（普通）年复利率，则dpdt=kp是不成立的；根据本节以上分析可知，由A=p0（1+kn）nt推p（t）=p0ekt也是不对的。总之，这里用的两种方法每一种都是不对的。3.绕开连续复利的困惑讲连续复利例22009年机械工业出版社出版的《公司理财》（英文第8版翻译本）中有“例4-15连续复利LindaD

5、efond以连续复利计息方式将其1000美元投资1年。那么，她的投资到了年末将等于多少？由式（4―9）（指计算式C0×erT――本文注）可得：1000美元×e0.10=1000美元×1.1052=1105.20美元这一结果也可很容易地从表A-5（该书中的表A-5包括下表-本文注）中查到。即只要在横拦中找出所给的利率r=10%，在竖栏中找出T，与本例有关的表中的部分为：连续型复利计息利率（r）9注意利率为的连续计息等价于利率为的年复利计息方式。换句话说，Linda认为将她的资金以的利率连续计息或是以利率年复利是没有差别的”应该说，作者讲Linda投资的例子和Linda的感受是为了让人

6、们进一步理解连续复利率。该书讲了“Linda认为”，应该从形成“Linda认为”的原因讲起。如果从“她的资金以的利率连续计息或是以利率年复利是没有差别”推出，所谓以的利率连续计息就是普通的以利率计息，就说明“Linda认为”是对的，这就说明了从公式（1）推导出连续复利公式（3）除去根据年利率推导出年利率外没有任何意义，这样就否定了所谓的连续复利公式（3）；如果说“她的资金以的利率连续计息或是以利率年复利是没有差别”是不对的，就应该讲清楚这差别在哪里，让读者进一步体会所谓连续复利的意义。但该书没有对“Linda认为”做进一步做出否定连续复利的分析，而是在“Linda认为”的基础上继续

7、讲连续复利的所谓意义，4.用理解错误的生物增长规律解释连续复利例32010年机械工业出版社出版的《衍生工具》（英文翻译本）在论述连续复利公式（3）时说“乍一看，连续利率似乎与现实不符，但恰恰相反。假设我们要对树的增长建模，树木并不是以离散的方式增长，其增长是连续的，如果假定树木的当前高度是50英尺，每年增长率为5%，树木6个月后的高度将是50e0.05（0.05）=51.266英尺”。9该书此段不是要将连续复利法用到树木增长上，而是要用树木连续增长现象解释连续复利法。