第5章 傅里叶级数

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1、第二篇傅里叶级数和积分(FourierseriesandFourierintegral)在函数的泰勒、罗朗展开式中，我们采用的是一系列幂函数作为基本函数族。这些基本函数族乘以不同系数后进行迭加便构成不同函数的展开式，然而幂函数没有周期性。尽管幂函数在研究解析函数中具有特别重要的地位，但周期函数展开为幂函数以后，周期性就很难直接体现出来，因此在研究周期函数时便需要采用其它函数作为基本函数。第五章傅里叶级数§24周期函数的傅里叶级数采用满足条件的一系列谐函数1，及作为基本函数族。该基本函数族中任意两者彼此正交，或者说两者的乘积在一个周期

2、上的积分为零，即可以证明，上述谐函数族是完备的，即任意分段连续的周期函数均可用上述谐函数族展开，且当时。原函数和展开式间的平方平均误差，亦即周期函数可展开为上式称为周期函数的傅里叶级数展开，和称为傅里叶系数容易求出关于傅里叶级数的收敛性问题有：狄里希利(Dirichlet)定理：若周期函数满足狄里希利条件①处处连续或者在每个周期中只有有限个间断点，并且在间断点的跃度是有限的②在每个周期中只有有限个极值，则傅里叶级数收敛于关于希尔伯空间(Hilbertspace)：希尔伯空间是无限维的。它由无限多个彼此正交且完备的基矢构成。周期函数的

3、傅氏级数相当于该空间的矢量在基矢1，上的表示，该空间的一个点由()表示，除前述谐函数族外，还有许多完备的函数族可作为希尔伯空间的基矢。因此还可以利用其它的完备函数族将作广义傅里叶级数展开。例在周期上将其展开为傅氏级数该函数满足狄里希利条件，则则在计算傅里叶系数时，经常用到（k为整数，为实数）§2.5奇的和偶的周期函数对于奇函数对于偶函数的导数例研究的频谱注意Gibbs现象（9%）峰值位置随项数增多向跳变点靠近，峰值超出跳变值的9%练习§2.6有限区间上的函数的傅里叶级数关于时间、空间的周期函数均要求自变量的取值范围为无限，即从-∞到

4、+∞。而实际物理系统，无论是时间还是空间均为有限，因此这样的函数能否展开为傅里叶级数，前提是什么？可将函数在无限的时间、空间范围内作解析延拓，由于函数在定义域外没有定义，因此可以有无数种延拓方式。实际情况应依据边界上的函数取值，进行奇或偶延拓等例P92/5（2），6（1），7§2.7复数形式的傅里叶级数由则可采用如下基本函数簇……，1，……从而把周期函数注意到则有：练习P92.5（3），6（3）