高等数学-第1章 函数与极限-1-2极限

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1、1.3极限教学目的：了解数列及函数极限的概念，会用极限的分析定义证明一些简单极限；掌握极限的性质；了解无穷大、无穷小的概念及其相互关系。教学重点：极限的概念；极限的性质；无穷大、无穷小的概念。教学难点：极限的概念；数列及函数极限的性质。教学内容：1.3.1　引言例１　计算圆的面积。设有半径为r的圆，用其内接正n边形的面积逼近圆面积S，如图。R从作正六边形开始，面积记为，然后作正十二()边形，其面积记为,再作正二十四()边形，其面积记为，L，正边形，其面积记为。这个过程无限进行下去，可以得到一个数列：且当n无限增大时,正多边形无限

2、地逼近圆，无限地接近于一个定值，这个定值定义为圆的面积S，记为。例２　计算由抛物线，轴和直线所围图形（曲边三角形）的面积。y=x2y=x2n=4n=8图和时的情形将区间分成个相等的小段，则每一段的长度为，分点的坐标分别为，然后过每个分点作轴的垂线，这样曲边三角形被分成个小窄条。每个小窄条的面积都用底宽为，高为（）的小矩形面积近似表示(图1.3.3)。将这些小矩形的面积加起来，得到的近似值：26　从图形上看，随着的增大，越来越接近，但无论多么大，始终是的近似值。为了求的精确值，Archimedes设想让无限地增大，面积为的多边形越

3、来越逼近曲边三角形，而无限地接近于一个确定的数，这个确定的数就定义为曲边三角形的面积。称为趋于无穷大时的极限，记为。例3变速直线运动的速度设某质点沿直线运动，假设直线为一数轴，取定一时刻为测量时间的零点。质点时刻在直线上的位置为。这样质点的位置完全由某一函数确定，设该函数为。我们已经知道匀速直线运动的速度＝经过的路程所花的时间，但对于变速直线运动的速度该公式就不再适用了。因为不同的时间间隔内会有不同的比值。那么变速直线运动速度应如何求呢？取从时刻到时刻这样一个时间间隔段，在这段时间内质点经过的路程为，比值可以看成是时间内的平均速

4、度。如果很小，在这段时间内，运动可以近似地看成是均匀的，因而可以用来近似代替时刻的速度。越小，近似程度越高。但不论多小，这个平均速度总是近似值，而不是精确值。为了得到精确值，令趋于0，即让无限地接近，则无限地接近时刻的速度。因此我们得到上述求的过程实质上一方面看是研究函数随的变化过程；另一方面看是研究函数在某一点的变化率问题，这一问题的研究，导致微积分学中另一重要分支——微分学的产生，这部分内容将在第二章详细讨论。1.3.2数列的极限261数列极限的定义定义设{}是一给定数列，是一实常数。如果对于任意给定的正数(不论它多么小)，

5、总可以找到自然数,使得对于时的一切,不等式都成立，那么就称常数a是数列{}的极限，或者称数列{}收敛于,记为或　　　　　　　如果数列没有极限，就说数列是发散的。“对于时的一切,不等式都成立”表示数列中从第项开始所有的项都落在中，如图1.3.4。xa图1.3.4注意　（１）极限定义中的和有关，但并不是的函数；（２）不一定找最小的；（３）数列{}收敛与否，以及收敛数列的极限是什么，与数列前有限项无关，因此改变数列前有限项，不影响数列的收敛性及收敛数列的极限。例4证明数列的极限为1。证明　记，，只要取，则时，，即，由定义知例5证明()

6、。证明　，（不妨设），要使，只要，两边取自然对数，得26，故　。因此，取，则时，有，即。由定义知　.2.收敛数列的性质(1)极限的唯一性定理1.1收敛数列的极限必唯一.证明用反证法.假设数列{}收敛到两个不同的值，，不妨设。因，所以对于，存在自然数N1，使当n>N1时,有，从而(1.3.5)同理,因故存在自然数N2，使当n>N2时,有，从而(1.3.6)取，则时，不等式(1.3.5)和(1.3.6)同时成立，矛盾。因此,收敛数列的极限必唯一.(2)数列的有界性如果存在实数，使数列{}的所有项都满足，则称数列{}有界。定理1.2收

7、敛数列必有界。证明设数列{}收敛到，由极限的定义，取，则当时，有即取，对所有的都有．因此，数列{}有界，即收敛数列必有界。注意定理的逆命题并不成立，即有界数列不一定收敛，例如，有界，但发散。有界，但却发散。（3）收敛数列的保序性26定理1.3　设数列，均收敛，若，，且，则存在自然数，当时，。证明　因，，根据极限定义，对于，，当时，有即　　　　　　又　，对于，，当时，有即　　　　　　取，则当时，，因此，。注意　定理1.3的逆命题不成立，但有下述结论：推论1　若，，存在自然数，当时，（），则。推论2（收敛数列的保号性）若，且（或），

8、则存在自然数，当时，（或）。推论3　若，则存在自然数，当时，。（4）收敛数列与其子列间的关系设是一严格单调递增的无穷数列，则数列称为数列的子数列，简称子列，显然一个数列有无穷多个子列。在子列中，一般项是第项，而在原数列中是第项，。定理1.4如果数列收敛于，则它的