向列相液晶中呼吸子的多种解法

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1、摘要本文主要介绍了光束在非局域非线性介质中传输时的情况，分别采用了变分法和泰勒展开法来求解向列相液晶中（1+1）维呼吸子解，并通过对数值模拟结果和理论解析结果的比较，最后证实了结论的正确性。关键词：向列相液晶；非局域程度；变分法；泰勒展开法；呼吸子AbstractThispapermainlyintroducesthesituationofthebeampropagationinnonlocalnonlinearmedium.VariationalmethodandTaylorseriesexpansionmethod

2、arerespectivelyusedtosolvea(1+1)dimensionalbreathersolutioninnematicliquidcrystals.Thenthroughthecomparisonoftheresultsofnumericalsimulationandtheoreticalanalysisresults,finallythecorrectnessoftheconclusionisconfirmed.Keywords:nematicliquidcrystal;thedegreeofnon

3、locality;variationalmethod;Taylormethod;breathers17目录摘要1Abstract1第一章绪论3§1.1空间光孤子以及呼吸子介绍3§1.2求解呼吸子解的方法5§1.2.1变分法5§1.2.2泰勒展开法6§1.3本论文的目的及研究主要内容6第二章用变分发求呼吸子解7§2.1液晶的简介7§2.2变分法求呼吸子解8第三章用泰勒展开法求呼吸子解14§3.1泰勒法解呼吸子解14第四章总结与研究展望15§4.1本文总结15§4.1研究展望15参考文献16致谢1717第一章绪论§1.1空

4、间光孤子以及呼吸子介绍光孤子（Soliton，Solitonsinopticalfibres）是指经过长距离传输而保持形状不变的光脉冲。光脉冲在时域上的展宽式缘于介质的色散，在无色散介质中，脉冲的群速度等于相速度，传播过程中不会展宽。但对于空域中有限尺寸的一束光，即使在真空中传播，由于波动的固有特性——衍射，随着传播距离的增加，光束会变得越来越宽，初始入射光束越窄，其在横向展宽的就越快，如图1-1中间一排所示。但改变介质的折射率分布可以补偿光束的这种横向扩展，光纤便是一例，中心的折射率高，四周的折射率低，在其中稳定传播

5、的光就是这种波的线性导模。如果介质对光强的响应是非线性的，那么光场就会引起介质光学性质（如折射率、吸收等）的改变。如克尔（kerr）非线性响应介质，折射率的改变量正比于光强，当一束高斯光在其中传播时，光束中心的强度大，因此折射率增量就大，光束边缘强度小，折射率增量也小，这样，在介质中就形成了一个类似于光纤的中间折射率高边缘折射率低的自生导波。图1-1：光束横截面的空间形状（实线）和波前相位（虚线）示意图上排：自聚焦；中排：自然衍射；末排：孤子形成17由于光束总是向着折射率高的地方偏离，因此，边缘的光会向光束中心汇聚，致

6、使中心的光强增加，折射率进一步增加，进而边缘的光继续向光束中心会聚，这样便形成了一个恶性循环，光束中心的折射率越来越高，光强越来越大，直至介质被烧毁。这便是非线性克尔介质中的自聚焦效应。因此，衍射的抑制也可以通过介质的非线性效应局部改变折射率分布来实现。当光束通过非线性改变介质的折射率形成一个自生导波并且是这个自生导波的导模时——即达到自洽，衍射发散效应和非线性自聚焦效应相互抵消，传播过程中，光束不再扩展，这种稳定的自限（Self-traping）光束被称为空间光孤子。图1-2强非局域介质中高斯光束的传输，只有当功率与

7、临界功率相等时，才会形成光孤子，否则束宽会做周期性“振荡”，即形成了呼吸子若非线性效应引起的光束的自聚焦与光的衍射效应不能相互抵消但又相差不大时，光束束宽就会作周期性的压缩或者展宽，这种束宽作周期性“振荡”的光束被称为呼吸子。17§1.2求解呼吸子解的方法§1.2.1变分法变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿

8、着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗