数模作业讲解1_080310

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1、数模作业讲解1跑步问题某人恰好用10分钟跑完2000米，试证明在这10分钟内，至少有一个5分钟时间区间，他在这5分钟内，恰好跑完1000米。解：设在时间[0,t](t≤10)内，他跑了s(t)米，则s(t)是连续函数且s(0)=0,s(10)=2000.再设f(t)=s(t+5)-s(t)(t≤5),则f(t)表示他在时间区间[t,t+5]所跑的距离，f(t)也是连续函数.现只要证明至少有一点t0∈[0,5]使f(t0)=1000.∵f(0)=s(5)-s(0)=s(5),f(5)=s(10)-s(5)=2000-s(5)∴若s(5)=1000，则t0

2、=0；若s(5)<1000，则f(0)<1000且f(5)>1000；若s(5)>1000，则f(0)>1000且f(5)<1000；后两种情况，由连续函数的介值定理，至少有一点t0∈[0,5]使f(t0)=1000.包装问题5通常大包装的商品与小包装的商品比较，前者的单位重量价格较便宜，这主要是受商品的包装材料成本的影响。现设商品的包装材料成本C与其表面积S成正比，商品的包装呈圆柱形，底面直径D与高h的比为D:h=1：2，试分析商品包装表面积S与商品重量W的关系，进而说明单位重量的包装材料成本与W的关系。解：由题意知,h=2D,商品的体积,因重量与体

3、积成正比，设比例系数为k,则从而,①而包装的表面积为,②把①代入②得,③其中为常数，③式反映了S与W的关系.因C与S成正比,故设C=qS,其中q为比例系数，则,④④式反映了与W的关系,说明单位重量的包装成本随重量的上升而下降.翻硬币问题5桌面上有n枚硬币,初态是全部正面向上,现让你每轮把其中的m(2m≤n)枚翻转,希望最终全部反面向上.请建立数学模型研究n,m在什么条件下此问题有解或无解.**************************************************纯翻转-------m枚都是正面的一轮翻转；(混合)翻转-----

4、-取a(>0)枚正面，m-a枚反面的一轮翻转.k------当前的正面数.选a枚正面和m-a枚反面的一轮翻转后，正面数的变化量为，（1）由（1）式可见，当m是偶数时，每一轮翻转后，正面数的变化量总是偶数.不可能把正面数从奇数化为0.故有结论1：当n是奇数m是偶数时，本问题无解.如果问题有解，则最后一轮必是有m枚正面，n－m枚反面.那么，倒数第二轮的状态如何呢？设选a枚正面，m－a枚反面，则正面数有.而，即要求是偶数.故有结论2：当m≠k≤2m是偶数时，先选k/2枚正面和m－k/2枚反面翻一轮，再做一轮纯翻转即可成功..设，（2）5其中，t为n除以m的余

5、数，,s≥2为正整数.先做s-1轮纯翻转，得k=m+t.情形一，m是奇数（不论n是奇数还是偶数）.只有如下3种可能：（ⅰ）t=0.k=m,再做一轮纯翻转就成功.（ⅱ）t(

6、翻4轮必成功(0---正面，1---反面)5步骤过程（0）（1）（2）（3）（4）0000000011100000111111001111001011111111例2.n=7，m=3,s=2,t=1.翻3轮必成功步骤过程（0）（1）（2）（3）0000000111000011011001111111注:可把以上的条件2m≤n,改为m≤n,但难度会稍大.例n=16，m=13,t=3.步骤过程（0）（1）（2）（3）（4）（5）（6）00000000000000001111111111111000111000000000011100011111110000

7、001110000111111111001001100000000011111111111111115