数模作业讲解7(应数)_201405.pdf

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1、数模作业讲解7(107页1题)设有一个经济系统含三个部门，某年的直接消耗系数矩阵A与最终产品Y已知为0.250.10.13225AY0.20.20.1,1900.20.150.2200试求完全消耗系数矩阵和各部门的总产值。解：125001990228011(IA)36001148020208521380026501160039791990228011C(IA)I360029592020,85213

2、800265030794281X(IA)Y398432(107页3题)某市有6个区，每个区都可建消防站，为了节省开支，市政府希望设置的消防站最少，但必须保证在该市任何地区发生火警时，消防车能在15分钟内赶到现场.根据实地测量,各区之间消防车行使的最长时间如下表:(单位:分钟)1区2区3区4区5区6区1区410162827202区105243217103区162441227214区283212515255区271727153146区20102125146请为该市制定一个

3、设置消防站的最节省的计划.建模并求解.解:(0-1规划方法)本题实际上是要确定各个区是否要建立消防站,使其既满足要求,又最节省.这自然可引入0-1变量,故设1,当在第j区建消防站时xj（j1,2,,6）0,当不在第j区建消防站时6目标是fxj最少.以下考虑约束条件.j1若1区发生火警,按照“消防车要在15分钟内赶到现场”的要求,则l区和2区至少应有一个消防站,即x1x21同理得:xxx1,xx1,xxx1,12634345xxx1,xxx1，45

4、6256从而得模型为:6minfxjj1xx112xxx1126xx134s.t.x3x4x51xxx1456xxx1256x0,1,(j1,2,,6)j再仔细观察知,若满足第一、三个约束条件,则必然满足第二、四个约束条件,故后者是多余的,可省略.从而化简得:6minfxjj1xx112xx134s.t.x4x5x61xxx1256x0,1,(j1,2,,6)j此模型由于比较简单,

5、故可直接试算.若要求只有一个xj1,则显然不可行,若要求只有两个xj1,则有唯一可行解xx1,xxxx0，故这就是最241356优解.即只需在2区和4区建立消防站，,且2区的消防站管1，2，6区，4区的消防站管3，4，5区.注意：该题的行车时间矩阵不要求是对称矩阵（有时去和回不同路）。每一列表示从消防站去到火灾现场的时间，每一行表示从火灾现场回到消防站的时间。（补充题9）有29台同类型机器，每台每天可加工6个零件A或2个零件B或4个零件C.2个零件A和3个零件B及5个零件C配成一

6、套.假设每台机器每天只安排加工1种零件，问如何安排这些机器每天的任务，使该每天加工的成套零件最多.建立数学模型并求解.解：设该车间每天安排加工零件A，B，C的机器分别有x1台、x2台和x3台，加工出的成套零件有y套.则有模型maxyxxx2912362xy1st..2x3y245xy3xxxy,,,0，整数123235从约束条件得()yx1x2x32962437即yy29,9.41.可见每天至多可加工912套零件.如果有一个可行解使y=9,则它就是

7、最优解。293959x3,x13.5,x11.25123624.故可取x1＝3，x2＝14，x3=12,能满足约束.且每天加工出9套零件.（补充题10）设正矩阵Aa()ijnn是一致矩阵，试证明：(1)秩(A)=1;(2)n是A的特征值且A的每一列向量都是n的特征向量.证明：(1)因为aaikkjaij,ijk,,1,2,,n,所以对A的任两行i,k行有：aija,j1,2,,nikakj即i,k行的各数成比例，故秩(A)=1.(2)设A的第j列为Aj，则AA

8、j的第i个分量nnaaikkjaijnaij,,ij1,2,,nkk11从而，AAjjnAj,1,2,,n.故n是A的特征值且A的每一列向量都是n的特征向量.