函数凹凸性在不等式证明中的应用--毕业论文

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1、【标题】函数凹凸性在不等式证明中的应用【作者】陈小翠【关键词】凸性；不等式；几何特征【指导老师】冯彬【专业】数学与应用数学【正文】【标题】函数凹凸性在不等式证明中的应用【作者】陈小翠【关键词】凸性；不等式；几何特征【指导老师】冯彬【专业】数学与应用数学【正文】【标题】函数凹凸性在不等式证明中的应用【作者】陈小翠【关键词】凸性；不等式；几何特征【指导老师】冯彬【专业】数学与应用数学【正文】1  引言不等式的证明在数学问题中是经常碰到的，我们在中学时代就常常接触到不等式证明的问题，在那时，我们常用的不等式证明方法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法 等。进入大学以后，我们又学习了一些

2、高等数学中常用的证明不等式的方法，例如利用函数的单调性、极大、极小值法和泰勒展式等方法 ，除此以外，我们还学习了一种很重要的方法，即是利用函数的凹凸性性质来证明一些不等式。函数凹凸性，反映在图像上就是曲线的凹凸方向，为此运用它可以更深入和较准确地掌握函数曲线的形状，这对于描绘函数的图形有很大的作用，关于这些，在高等数学的各类教材中都有详尽的论述，本文是在凹凸性常识的基础上，抛开它的主要作用，介绍了凹凸函数的定义及其几何特征，再通过举例说明函数凹凸性在证明不等式中的应用。2  凹凸函数定义及几何特征 图1-1凹凸函数是区分函数增减方式的两种不同类型的函数，即：虽然函数单调增加，但却可有如图1-

3、1中所示的两种方式增加。直观地看，函数 所表示的曲线是向下凸的，于是我们把形如 的增长方式的函数称为下凸（凸）函数，而函数 所表示的曲线是向上凸的，于是我们把形如 的增长方式的函数称为上凸（凹）函数。在高等数学的教材中，曲线的凹凸性直观定义为：“设曲线弧的方程为 ，且曲线弧上每一点都有切线。如果在某区间内，该曲线弧位于其上任一点切线的上方，则称曲线弧在该区间内是凸的；如果在某区间内，该曲线弧位于其上任一点切线的下方，则称曲线弧在该区间内是凹的。”2.1  定义的推广在许多教材中，曲线的凹凸性有如下定义：定义2.1   设 在 内连续，如果对 内的任意两点 恒有 那么称 在 内的图形是向下凸(

4、凸)的，函数称为下凸(凸)函数；如果恒有 那么称 在 内的图形是严格向下凸(凸)的，函数称为严格下凸(凸)函数如果对 内的任意两点 ， 恒有 那么称 在 内的图形是向上凸(凹)的，函数称为上凸（凹）函数；如果恒有 那么称 在 内的图形是严格向上凸(凹)的，函数称为严格上凸（凹）函数。定义2.2   设 在 内连续，如果对 内的任意两点 ， 恒有                 (1.1)其中正数 ， 满足 ，那么称 在 内的图形是凸的，函数称为凸函数；如果恒有 那么称 在 内的图形是严格凸的，函数称为严格凸函数。如果对 内的任意两点 ， 恒有 那么称 在 内的图形是凹的，函数称为凹函数；如果

5、恒有 那么称 在 内的图形是严格凹的，函数称为严格凹函数。定义中， 是 ， 之间的任一点。因为当 时，有 反之，  ， 之间的任一点 可表示为 ,记 ， 时有 ， 且 ，从而 显然，定义2.1是定义2.2中 的情形。从而定义1.1的条例弱于定义1.2。根据函数的凹凸定义，不难证明，若函数 在区间I是凹的，则函数 在区间I就是凸的，从而，我们对凸函数特征的讨论可在凹函数上适用。2.2  凹凸函数的几何特征如图1-2： 图1-2设 ， 是凸函数 曲线上两点，它们对应的横坐标 ， ，则存在 ， ，使得 ，过点 作 轴的垂线交函数于A，交 于B，则（1.1）式左端即为A点纵坐标，右端即为B点纵坐标，

6、因此，凸函数的几何意义就是：其函数曲线任意两点 与 之间的部分位于弦 的下方或曲线在任一点切线上方。根据以上几何特征，下面推导一个关于凸函数的直接不等式，设 为凸函数， 为 上的任一弦，设 ， ，不妨设  ，则直线  的方程为：         从而由上所述，凸函数几何性质为：               （1.2）而对于严格凸函数则有：       因此，同理，对于凹函数，我们得到的不等式则为：      而对于严格凹函数，我们得到的不等式则为：      3 凹凸函数的判别法凹凸函数的判别准则在一般教材中均有述及，下面是[5]中的一个判别凹凸函数准则：如果函数 在 内具有二阶导数，那么可

7、以利用二阶导数的符号来判定函数曲线的凹凸性，这就是下面的曲线凹凸性的判定定理。我们仅就 为闭区间的情形来叙述定理，当 不是闭区间时，定理类同。定理2.1　 若函数 在 上连续，且在 内具有一阶和二阶的导数，对 ，恒有 ，则曲线 在区间 上是凸（凹）的。（证明省略）下面我们将从不等式（1.1）、（1.2）出发，适当选取 来证明一些不等式。4 凸函数在证明不等式中的应用在中学数学和高等数学的数学分析、高等代数、概