数学教育毕业论文

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1、学号：毕业论文论文题目：统一方程的两种解法以及满足一定条件的非线性微分方程的求解姓名：张俊学科专业：数学教育指导教师：桂旺生完成时间：2011年5月15日Ⅱ摘要本文首先引入统一方程，利用变量代换法和常数变易法求出通解，并指出两种方法的关系。根据作为统一方程特例的Bernoulli方程的求解方法证得非线性微分方程经函数变换化为一阶线性微分方程的充分必要条件和化为Bernoulli方程的充分必要条件。关键字：变量代换法；常数变易法；Bernoulli方程；非线性微分方程Ⅱ目录第一章引言…………………………………………………………………………1第二章定义…………………………………

2、………………………………………2第三章统一方程的两种解法………………………………………………………33.1变量代换法…………………………………………………………………33.2常数变易法…………………………………………………………………33.3例题解析……………………………………………………………………5第四章主要定理及例子……………………………………………………………7结论…………………………………………………………………………………11参考文献……………………………………………………………………………12ⅡⅡ第一章引言在求解一阶可分离变量方程、齐次方程、线性方程和Bern

3、oulli方程等一阶微分方程时，通常使用变量代换法和常数变易法。本文着重通过对Bernoulli方程求解方法的分析，发现一些可化为一阶线性微分方程和Bernoulli方程的非线性微分方程，因此，这类非线性微分方程便可以用变量代换法和常数变易法求解。ⅡⅡ第二章定义称（1）为统一方程，其中P、Q、F均为其变量的连续函数，n为常数。一阶可分离变量方程、齐次方程、线性方程、Bernoulli方程是（1）的特例。事实上，n=0，，，为可分离变量方程；n=0，，为非齐线性方程；，n=0，，令，为齐次方程；，，为Bernoulli方程。ⅡⅡ第三章统一方程的两种解法4第三章统一方程的两种解

4、法第三章统一方程的两种解法3.1变量代换法在求解齐次方程，这里是的连续函数和（，，，，，均为常数）中我们利用变量代换求解微分方程：以(3.1.1)为例，作变量代换(3.1.3)即，于是(3.1.3)将（3.1.2），（3.1.3）代入（3.1.1）,则原方程变为(3.1.4)(2.1.4)为可分离变量方程，分离变量后积分得（2.1.1）的通解，[2]下面给出方程（1）的求解过程。作为统一变换（2）将方程（1）化为可分离变量变量方程（3）分离变量后积分，得（1）的通解，（4）3.2常数变易法4第三章统一方程的两种解法在求解一阶线性微分方程（3.2.1）这里假设，在考虑的区间上

5、是x的连续函数。若，变为（3.2.2）将（3.2.2）分离变量后再积分，可得通解（3.2.3）若，令（3.2.4）微分之，得（3.2.5）将（3.2.4），（3.2.5）代入（3.2.1）整理得积分并代回原变量，得，这就是方程（3.2.1）的通解。[3]这时我们就问，怎么想到先解出与（3.2.1）对应的齐次方程（3.2.2），然后，又如何想到变易其通解中的常数为函数，而最后果真能解出原方程（3.2.1）的呢？事实上，首先，因为齐次方程（3.2.2）是可分离变量方程，容易解出；其次，解微分方程的方法是用微分的逆运算，即积分，由于解式（3.2.3）中的常数是积分运算产身的，它正

6、是齐次方程（3.2.2）右端的“0”的积分，而方程（3.2.1）的右端是非零函数，其积分应是的函数，由此自然想到将（3.2.3）中的常数变易为函数，即（3.2.4）式，就可能是（3.2.2）的解，到底取何种形式，就看代入方程（3.2.1）后能否被确定，这就是发现解方程（3.2.1）的常数变易法的一种可能途径。下面给出方程（1）的求解过程。先解与（1）对应的“齐次”方程（5）4第三章统一方程的两种解法解得通解（6）变易（6）中的常数为的函数，即（7）设它为方程（1）的解，代入（1）（看能否被确定），得（8）它正是关于函数和自变量的可分离变量方程，分离变量后积分，即可得方程（1

7、）的通解4第三章统一方程的两种解法（9），式中，，为常数。我们再回头看看这两种方法，将齐次方程（5）的通解（6）与变换（2）对照一下，就可以发现（6）式中的常数占据（2）式中新未知函数的位置。由于变换（2）能将方程（1）化为可分离变量方程求解，于是将（6）式中的常数变易为函数，即（7）式，代入方程（1），必可得到关于和的可分离变量方程。而演算后所得的（8）式及最后的解式（9），恰恰与变量代换中的（3）及（4）分别对应。因此，解方程（1）的常数变易法也可以说是从分析变量代换（2）和齐次方程（5）的通解（6）的结构得到