数学教育毕业论文

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1、XXXX大学学生毕业论文题目：特殊的积分不等式及其在高等数学中的应用作者：XXX指导老师：师范学院数学系数学教育专业2009级X年制（X）班2012年04月21日第13页共11页主要内容简介：积分不等式在高等数学中有着重要的应用，因而得到大量的研究，并且取得了许多有价值的研究成果，但是以前对不等式的研究多局限于几种常见的积分不等式，而且对积分不等式在高等数学中的应用的研究较少，针对这些情况，本文着重对Putnam积分不等式、Chebyshev积分不等式、Kantorovich积分不等式和Gronwall积分不等式展开讨论，并对其在高等数学中的应用展开更为深入细致的研究,以期为高

2、等数学教学与研究提供新的素材和方法.第13页共11页特殊的积分不等式及其在高等数学中的应用摘要:积分不等式在高等数学中有着广泛的应用，并已经得到了很多深刻的研究结果，本文分别针对Putnam积分不等式,Chebyshev积分不等式,Kantorovich积分不等式和Gronwall积分不等式这四类积分不等式展开讨论，观察它们的证明及其推论以及它们在高等数学中的应用，力图进一步明确积分不等式与高等数学的密切联系，为高等数学的教学与研究提供新的素材与方法.关键词:积分不等式高等数学应用积分不等式在高等数学中有着重要的应用，因而得到大量的研究，并且取得了许多有价值的研究成果，但是以前

3、对不等式的研究多局限于几种常见的积分不等式，而且对积分不等式在高等数学中的应用的研究较少，针对这些情况，本文着重对Putnam积分不等式、Chebyshev积分不等式、Kantorovich积分不等式和Gronwall积分不等式展开讨论，并对其在高等数学中的应用展开更为深入细致的研究,以期为高等数学教学与研究提供新的素材和方法.1、Putnam不等式1.1Putnam不等式的证明及其推论定理1设是上的可微函数且当时，则有证令=因为,故我们只要证在（0，1）内，事实上由微分中值定知又由题设，故．因此要证明，只要证明．第13页共11页记，那么因此因此我们得到从而命题成立，证毕.我们

4、可以把这个命题作如下推广.推论1设是上的可微函数,且当时则其中为常数.证令有，故我们只要证明，而这等价于，由上面的定理1知这是成立的，故推论得证.注1　如果，那么命题中的不等式取反号，这可以从上面的推论1证明中看出.1.2、Putnam不等式在高等数学中的应用例1证明证令,可利用Putnam不等式得，不等式右边整理后可得第13页共11页因此例2证明.证令因为是上的可微函数，且当时，，，则可利用Putnam不等式得不等式右边整理后得于是不等式两边同乘以8得注2Putnam不等式常用于证明高等数学中满足下列条件的积分不等式（1）被积分的函数在上是可微的；（2）当时，有且.2、Che

5、byshev不等式2.1Chebyshev不等式的证明定理2设函数在上连续，并设是正的，而在上是单调增加的，则有下列的Chebyshev不等式（1）成立.第13页共11页证任取，，由单调性，有上式两边对积分，得，将不等式展开，两边同乘并对积分得将变量换成表示得证毕.注3如果都是单调减少的，则不等式（1）要变号.2.2Chebyshev不等式在高等数学中的应用例3设在上连续，且单调减少，．证取上单调性相反，则即即注4若取由于单调性相反，利用第13页共11页不等式时不等号方面要改变符号.例4证明证由于在上单调性相同，故由不等式得即（2）即（3）联立(2)(3)即得注5利用Cheby

6、shev不等式证明高等数学中的积分不等式问题时要注意下列三点：(1)若积分不等式中已含有形如的式子，则要在给定的区间上是连续函数,是正的且在给定的区间上单调性相同，则可利用Chebyshev不等式进行证明;(2)若积分不等式中不含有形如的式子，有的积分不等可通过人为的构造出含有该形式的式子，使其满足（I）中的条件，则也可利用Chebyshev不等式进行证明;(3)对于形如的式子，注意在给定区间上同时调增加和同时单调减少两种情况下，利用Chebyshev不等式进行证明时不等号的改变情况.3、Kantorovich不等式3.1Kantorovich不等式的证明及其推论定理3设在上是

7、一个正值的连续函数，记，第13页共11页那么有(4)证由题设，两边对积分得而由算术－几何平均值不等式得从而得上式两边平方并同除以，我们就得到（4）式成立,证毕.推论2在中插入个点，设为个实数且满足，令,则记则定理变为注6推论2说明所建立的不等式被称为Kantorovich不等式的一种积分形式.3.2Kantorovich不等式在高等数学中的应用例5证明证等价于令则第13页共11页因为是上的一个正值的连续函数，则可利用Kantorovich不等式得因为故即例6证明证等价于令则因为是上的一个正值