江苏省高考数学二轮复习 第20讲 数形结合思想

江苏省高考数学二轮复习 第20讲 数形结合思想

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1、数形结合思想数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.它包含两个方面:(1)“以形助数”,把抽象问题具体化.这主要是指用几何的方法去解决代数或三角问题;(2)“以数解形”,把直观图形数量化,使形更加精确.这主要是指用代数或三角的方法去解决几何问题.数形结合思想不仅是解决数学问题的一种策略和思想,而且是解决数学问题的一种重要的方法,因而在高考中占有非常重要的地位.数形结合思想中的“数”主要是指数和数量关系;“形”主要是指图形,有点、线、面、体等.实现数形结合的渠道主要有

2、:(1)实数与数轴上点的对应;(2)函数与图象的对应;(3)曲线与方程的对应;(4)以几何元素及几何条件为背景,通过坐标系来实现的对应,有复数、三角、空间点的坐标等.数形结合思想主要用于解填空题和选择题,有直观、简单、快捷等特点;而在解答题中,考虑到推理论证的严密性,图形只是辅助手段,最终要用“数”写出完整的解答过程.1.已知A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3},(B)∩A={9},则A=________.2.函数y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)在闭区间

3、[-π,0]上的图象如图所示,则ω=________.3.直线y=1与曲线y=x2-

4、x

5、+a有四个交点,则实数a的取值范围是________.4.某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱兵乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.【例1】 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的一系列对应值如下表:x-y-1131-113(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式;(2)根据(1)的结果,若函数y=f(kx)(k>0)

6、周期为,当x∈时,方程f(kx)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.【例2】 如图,甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处,此时两船相距.当甲船航行到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西1向的B2处,此时两船相距10海里,问乙船每小时航行多少海里?【例3】 在平面直角坐标系xOy中,设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围;(2)求圆

7、C的方程;(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论.【例4】 已知f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12.(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在自然数m使得方程f(x)+=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出m值;若不存在,说明理由.1.(·福建)已知O是坐标原点,点A(-1,1),若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则·的取值范围是________.2.(·江苏)在平面直角坐标系xOy中,过坐

8、标原点的一条直线与函数f(x)=的图象交于P、Q两点,则线段PQ长的最小值是________.3.(·全国)如图,三棱锥ABCD的侧面是顶角为40°,腰长均为1的全等三角形,动点P从三棱锥ABCD的顶点B沿侧面运动一圈再回到点B,则动点P所走的最短路径长为________.4.(·江苏)设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于x∈[-1,1]都有f(x)≥0成立,则实数a的值为________.5.(·江苏)在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆+=1的左、右顶点为A、B,右焦点为F.设过点T(t

9、,m)的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2<0.(1)设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹;(2)设x1=2,x2=,求点T的坐标;(3)设t=9,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).6.(·天津)已知函数f(x)=ax3-x2+1(x∈R),其中a>0.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)若在区间上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.(·南通三模)(本小题满分16分)平面直角坐标系xO

10、y中,椭圆+=1(a>b>0)离心率为,焦点在圆x2+y2=1上.(1)求椭圆的方程;(2)设A,B,M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角θ,使=cosθ+sinθ.①求证:直线OA与OB的斜率之积为定值;②求OA2+OB2.解:(1)依题意,得c=1.于是,a=,b=1.(2分)所以所求椭圆的方程为+y2=1.(4分)(2)①设A(x1,y1),B(x2,y2),则+y=1①,+y=1②.

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