高考数学 第2讲数形结合思想 新人教版.doc

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1、第2讲　数形结合思想感悟高考明确考向(2010·全国)已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　)A．(1,10)　　　B．(5,6)C．(10,12)D．(20,24)解析　作出f(x)的大致图象．由图象知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设a

2、问题的方法即数形结合的思想方法．体现了对知识和能力的双重考查．易错提醒(1)找不到问题解决的突破口．即想不到用数形结合．(2)f(x)的图象的特征不清，忽视对(1,0)和(10,1)这两个特殊点的分析．(3)不会借助图形进行分析．考题分析本小题考查了分段函数的特征及性质．考查了对数函数及其运算．重点考查了解决问题的方法即数形结合的思想方法．体现了对知识和能力的双重考查．15用心爱心专心易错提醒(1)找不到问题解决的突破口．即想不到用数形结合．(2)f(x)的图象的特征不清，忽视对(1,0)和(10,1)这两个特殊点的分

3、析．(3)不会借助图形进行分析．考题分析本小题考查了分段函数的特征及性质．考查了对数函数及其运算．重点考查了解决问题的方法即数形结合的思想方法．体现了对知识和能力的双重考查．易错提醒(1)找不到问题解决的突破口．即想不到用数形结合．(2)f(x)的图象的特征不清，忽视对(1,0)和(10,1)这两个特殊点的分析．(3)不会借助图形进行分析．思想方法概述1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如

4、应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．15用心爱心专心(2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几

5、何分析容易出错．(3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5)构建立

6、体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；15用心爱心专心(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个

7、函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．5．在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：(1)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；(2)要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；(3)要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；(4)精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解．很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这些几何意义，往往能收到事半功倍的效果．题型一　数形结合思想在解决方程的根的个数、不等式

8、解集的问题中的应用例1(1)已知：函数f(x)满足下面关系．①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2.则方程f(x)＝lgx解的个数是(　　)A．5　　　　B．7　　　　C．9　　　　D．10(2)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)A．(－1,0)∪(