高三高考复习数学专题学案：《立体几何初步》《直线和平面平行》

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1、基础过关第3课时直线和平面平行1．直线和平面的位置关系、、．直线在平面内，有公共点．直线和平面相交，有公共点．直线和平面平行，有公共点．直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外．2．直线和平面平行的判定定理如果平面外和这个平面内平行，那么这条直线和这个平面平行．(记忆口诀：线线平行线面平行)3．直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面，经过平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．(记忆口诀：线面平行线线平行)BCAPM典型例题例1．如图，P是ABC所在平面外一点，MPB，试过AM作一平面

2、平行于BC，并说明画法的理论依据．解：在平面PBC内过M点作MN∥BC，交PC于N点，连AN则平面AMN为所求根据线面平行的性质定理及判定定理变式训练1：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B和AC上的点，且A1M＝AN．求证：MN∥平面BB1C1C．证明：在面BA1内作MM1∥A1B1交BB1于M1在面AC内作NN1∥AB交BC于N1易证MM1NN1即可例2.设直线a∥，P为内任意一点，求证：过P且平行a的直线必在平面内．证明：设a与p确定平面β，且α∩β＝a'，则a'∥a又a∥ll

3、∩a'＝p∴a与a'重合∴lα变式训练2：求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．解：已知α∩β＝la∥αa∥β求证：a∥l证明：过a作平面γ交平面α于b，交平面β于C，∵a∥α，∴a∥b同理，∵a∥β∴a∥c∴b∥c又∵bβ且cβ∴b∥β又平面α经过b交β于l∴b∥l且a∥b∴a∥l例3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧菱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．BADCEP(1)证明：PA∥平面EDB；(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切

4、值．(1)证明：提示，连结AC交BD于点O，连结EO．(2)解：作EF⊥DC交DC于F，连结BF．设正方形ABCD的边长为a．∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC．∴EF∥PD，F为DC的中点．∴EF⊥底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角．AEFBHGCD在Rt△BCF中，BF＝∵EF＝PD＝，∴在Rt△EFB中，tan∠EBF＝．所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为．变式训练3：如图，在四面体中截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问：截面在什么位置

5、时，其截面的面积最大？解：易证截面EFGH是平行四边形设AB＝aCD＝b∠FGH＝α(a、b为定值，α为异面直线AB与CD所成的角)又设FG＝xGH＝y由平几得∴＝1∴y＝(a－x)∴S□EFGH＝FG·GH·sinα＝x·(a－x)sinα＝x(a－x)∵x＞0a－x＞0且x＋(a－x)＝a为定值∴当且仅当x＝a－x即x＝时(S□EFGH)max＝例4．已知：ABC中，ACB＝90°，D、E分别为AC、AB的中点，沿DE将ADE折起使A到A'的位置，若平面A'DE⊥面BCDE，M是A'B的中点，求证：

6、ME∥面A'CD．证明：取A'C的中点N，连MN、DN，则MNBC，DEBC∴MNDE∴ME∥ND又ME面A'CDND面A'CD∴ME∥面A'CD变式训练4：(北京)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1∥平面CDB1；ADBB1C1A1C(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．解：（1）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5．∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内

7、的射影为BC，∴AC⊥BC1；（2）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1∴DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1；（3）∵DE∥AC1，∴CED为AC1与B1C所成的角，在△CED中，ED＝AC1＝，CD＝AB＝，CE＝CB1＝2，∴cos∠CED=∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为．小结归纳1．证明直线和平面平行的方法有：(1)依定义采用反证法；(2)判定定理；(3)面面平行性质；(4)向量法．2．辅助线(面)是解、证有关

8、线面问题的关键，要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用．