高考数学复习点拨 双曲线的第二定义

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1、双曲线的第二定义　观察教材第57页例5我们可知双曲线的轨迹还可以用另一种形式给出，这就是双曲线的第二定义，此定义可以快速解决某些双曲线问题，下面对其作简单介绍：　　一、双曲线的第二定义　　例1　点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点的轨迹．　　解：设是点到直线的距离．根据题意，所求轨迹就是集合，由此得．化简，得．设，就可化为，这是双曲线的标准方程，所以点的轨迹是实轴长、虚轴长分别为的双曲线（如图）．　　由例1可知，当点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是双曲线．定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数是双曲

2、线的离心率．　　对于双曲线，相应于焦点的准线方程是，根据双曲线的对称性，相应于焦点的准线方程是，所以双曲线有两条准线．　　二、第二定义的应用　　例2　一动点到定直线的距离是它到定点的距离的，求这个动点的轨迹方程．　　误：由题意知动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为2，所以动点的轨迹是双曲线．　　又，．　　准线，，即．　　故双曲线方程为．　　析：错解中误认为曲线中心为原点．仅由焦点（即定点）和准线（定直线）方程，不能得出及．　　正：由题设知离心率，　　又定点与定直线是双曲线相应的右焦点与右准线，　　所以，，解得．　　所以双曲线中心为．　　又，故双曲线方

3、程为．　　评注：在应用第二定义时，应先确定定点不在定直线上，否则轨迹将是两条相交的直线，同时还应明确曲线中心的位置，因为中心不同的曲线有其不同的方程．