第2章 优化设计的数学模型及基本要素

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1、第2章优化设计的数学模型及基本要素Chapter2MathematicalModelingforOptimization2-1数学模型的建立(mathematicalmodeling)建立数学模型，就是把实际问题按照一定的格式转换成数学表达式的过程。数学模型建立的合适、正确与否，直接影响到优化设计的最终结果。建立数学模型，通常是根据设计要求，应用相关基础和专业知识，建立若干个相应的数学表达式。如机械结构的优化设计，主要是根据力学、机械设计基础等专业基础知识及机械设备等专业知识来建立数学模型的。当然，要建立能够反映客观实际的、比较准确的数学模型并非容易之事。数学模型建的过于复杂，涉及的因素太多

2、，数学求解时可能会遇到困难；而建的太简单，又不接近实际情况，解出来也无多大意义。因此，建立数学模型的原则：抓主要矛盾，尽量使问题合理简化。Principle：Theproblemissimplifiedasmuchaspossible.由于设计对象千变万化，即使对同一个问题，由于看问题的角度不同，数学模型建的可能也不一样。建立数学模型不可能遵循一个不变的规则，本课也不准备把大量的时间花在数学模型的建立上。仅想以几个例子来演示一下数学模型的建立过程，使学生从中得到一些启发。Exp.2-1例2-1用宽度为24cm，长度100cm的薄铁皮做成100cm长的梯形槽，确定折边的尺寸x和折角q（如图2-

3、1所示），使槽的容积最大。解:由于槽的长度就是板的长度，槽的梯形截面积最大就意味着其容积最大。因此，该问题就由，求体积最大变成求截面积最大。槽的梯形截面积为：图2-11S=´高´（上底边+下底边）2其中，上底边=24-2x；下底边=24-2x+2xcosq；高=xsinq定义：该优化设计问题的09目标函数是槽的梯形截面积S，设计变量为x,q。问题可以简单地归结为：选择适当的设计变量x,q，在一定的限制条件下，使目标函数S达到最大，限制条p件为:0

4、对于加工精度要求不高的普通机车而言，以选取主轴重量最轻为优化设计的目标，外伸端的扰度可以作为限制条件来考虑。1图2-2解：当主轴的材料选定后，其重量仅与四个量有关。轴的内经d，外经D，支撑间的跨距l及外伸端a。由于机床主轴的内孔是用来通过待加工的棒料，其大小由机床型号决定，不能选作设计变量。因此，该问题的设计变量取l,D,a；目标函数，即主轴的重量为122f=pr(l+a)(D-d)；主轴的限制条件，取它的刚度条件，即外伸端的扰度小于某42Fa(l+a}一规定值y£[y}及尺寸。在外力F作用下，外伸端的扰度为y=其中，cc3EJ2p44Fa(l+a}J=(D-d)。因此，主轴的刚度约束为£[

5、y]。它的尺寸约束为643EJl£l£l,D£D£D,a£a£a。010101Exp.2-3(p8)例2-3如图2-3所示，钢梁C的一端与刚性支撑B焊接在一起,另一端承受作用力6000N。最优的设计钢梁尺寸，使梁的重量最轻。图2-3解：钢梁包括梁本09身及焊缝，选择独立的设计变量为尺寸h,,lt和b，并给定长度Lm=1.4。TT用X=={xxxx}{hltb}表示设计变量。1234钢梁的总重量，即目标函数为V=+VVcw其中，V--梁C的体积，立方英寸；V--焊缝的体积，立方英寸。CW从图上看，它们的体积分别是V=+tb()LlC122V==2()hlhlW2所以，总重量为22V=tb()L

6、++lhl®f(X)=xx()L++xxx34212对于焊接钢梁的限制条件有（1）焊接应力t()X2FMR焊接应力由二部分组成，t(X)=+tt'''，其中，tt'==,''2xxJ122ìüx2xx31+2M--F产生的扭矩，M=+F[Lx(/2)]；J--极惯性矩，J=+2íý0.707xx[()；212îþ1221ìü2+2x2xx312R=+íý[]îþ42（2）弯曲应力s()X6FL最大的弯曲应力为s()X=2xx43（3）失稳临界载荷PX()C当t/b=xx值变大，即梁变薄时，会出现失稳的趋势。对于矩形梁，失稳临界载荷34近似地表示成4.013EIaxEIPX()=-[1]3C2

7、LL2a1313其中，E--杨氏模量；I=xx；a=Gxx，G--剪切模量3434123（4）梁的变形d()X34FL假定钢梁是长L的简支梁，其变形是d()X=3Exx34上面四种约束，加上尺寸约束表示如下g(XX)=tt-³()01dg(XX)=ss-³()02dg(X)0=xx-³341g(Xx)0=³42g(Xx)0=³53g(X)=P(XF)0-³6cg(Xx)=-³0.125071g(XX)=0.2