优化设计的数学模型

《优化设计的数学模型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第二章优化设计的数学模型一优化设计问题的示例　　优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。　　优化设计包括：（1）必须将实际问题加以数学描述，形成数学模型；（2）选用适当的一种最优化数值方法和计算程序运算求解。箱盒的优化设计　　已知：制造一体积为100m3，长度不小于5m，不带上盖的箱盒，试确定箱盒的长x1，宽x2，高x3，使箱盒用料最省。分析：（1）箱盒的表面积的表达式；（2）设计参数确定：长x1，宽x2，高x3；（3）设计约束条件：a）体积要求；b）长度要求；　　数学模型：　　设计参数：　　设计目标：　

2、　约束条件：最大产值生产资源分配问题某工厂生产A和B两种产品，A产品单位价格为PA万元，B产品单位价格为PB万元。每生产一个单位A产品需消耗煤aC吨，电aE度，人工aL个人日；每生产一个单位B产品需消耗煤bC吨，电bE度，人工bL个人日。现有可利用生产资源煤C吨，电E度，劳动力L个人日，欲找出其最优分配方案，使产值最大。分析：（1）产值的表达式；（2）设计参数确定：A产品xA，B产品xB；（3）设计约束条件：a）生产资源煤约束；b）生产资源电约束；c）生产资源劳动力约束；数学模型设计参数：设计目标：约束条件：直齿圆柱齿轮副的优化设计已知：传

3、动比i,转速n,传动功率P，大小齿轮的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。分析：（1）圆柱齿轮的体积(v)与重量(w)的表达；（2）设计参数确定：模数（m），齿宽（b），齿数（z1）；（3）设计约束条件：a）大齿轮满足弯曲强度要求；b）小齿轮满足弯曲强度要求；c）齿轮副满足接触疲劳强度要求；d）齿宽系数要求；e）最小齿数要求。数学模型设计参数：设计目标：约束条件：二优化设计的数学模型优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。优化设计的数

4、学模型由优化设计变量、约束条件、目标函数组成。1.优化设计变量一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些基本参数可以是构件尺寸等几何量，也可以是质量等物理量，还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量。在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项相互独立的基本参数，称作优化设计变量，又叫做优化参数。优化设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称为n维设计问题。由n个设计变量x1,x2,…,xn为坐标所组成的实空间称作设计空间。一个“设计”，可用设计空间中的一点表示。按照产品设计

5、变量的取值特点，设计变量可分为连续变量（例如轴径、轮廓尺寸等）和离散变量（例如各种标准规格等）。只有两个设计变量的二维设计问题可用图1-1（a）所示的平面直角坐标表示；有三个设计变量的三维设计问题可用图1-1（b）所表示的空间直角坐标表示。设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度亦愈大、求解亦愈复杂。小型设计问题：一般含有2—10个设计变量；中型设计问题：10—50个设计变量；大型设计问题：50个以上的设计变量。如何选定设计变量？任何一项产品，是众多设计变量标志结构尺寸的综合体

6、。变量越多，可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难度和造成优化规模过大。所以设计变量时应注意以下几点：（1）抓主要，舍次要。对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。（2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4个，即钢丝直径d，弹簧中径D，工作圈数n和自由高度H。在设计中，将材料的许用剪切应力和剪切模量Ｇ等作为设计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中径D作为设计常量。2约束条件设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工

7、程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计。一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束两种类型：(1)等式约束(2)不等式约束根据约束的性质可以把它们区分成：性能约束——针对性能要求而提出的限制条件称作性能约束。例如，选择某些结构必须满足受力的强度、刚度或稳定性等要求；边界约束——只是对设计变量的取值范围加以限制的约束称作边界约束。例如，允许机床主轴选择的尺寸范围，对轴段长度的限定范围就属于边界约束。显式约束、隐式约束约束函数有的可以表示

8、成显式形式，即反映设计变量之间明显的函数关系，有的只能表示成隐式形式,如例中的复杂结构的性能约束函数（变形、应力、频率等），需要通过有限元等方法计算求得。可可行域:在设计空间中，