论文数形结合在教学中的应用

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1、洛阳师范学院本科毕业论文数形结合在教学中的应用摘要：数和形是数学的两类基本元素，它们既相互独立，又相互联系．“形”的主要作用是直观，数的突出特点是准确，将数和形结合起来研究数学、生活等方面问题时常能起到直观、准确的作用.关键词：数形结合；数学思维；教学应用1数形结合的作用数形结合是一种数学思想方法，数形结合思想即借助数的精确性阐明图形的某种属性，利用图形的直观性阐明数与数之间的关系，这是沟通数形之间的联系、并通过这种联系产生感知或认知、形成数学概念或寻找解决数学问题途径的思维方式.正如我国著名数学家华罗庚先生曾精辟指出：“数与形

2、，本是相倚依，焉能分作两边飞.数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休.切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离.”数形结合思想方法具有如下特点：(1)直观性．在研究和解决数学问题时，数形结合将抽象的代数式、解析式的本质特征表现出来，借助直观进行形象化、几何化．(2)关联性．数形结合方法是一个形象性、理性的认识活动，它将问题的代数与几何方面的特征综合起来，具有很强的关联性．(3)思维的全面性．数形结合与逻辑思维的逻辑推理不同，它在代数与几何问题间联系、穿插，一般表现为多回路运动，是二维的、面型的思维过程．

3、究其本质，数形结合是在某一空间内进行点集与数集的等价化归，目标原象与目标映象所在的关系结构系统之间相同的可解性，是形象思维成功的保证.2数形结合在教学实际中可以联系实际的应用12洛阳师范学院本科毕业论文2.1高致病性猪流感是比病毒传染速度更快的传染病．高致病性猪流感是比病毒传染速度更快的传染病，为防止猪流感蔓延，政府规定：离疫点千米范围内为隔离区，所有人都被隔离；离疫点千米至千米范围内为免疫区，所有的人强制免疫；同时，对隔离区和免疫区的村庄、道路实行全封闭管理，现有一条笔直的公路通过猪流感病区（如图2.1.1）,为疫点，在隔离区

4、内的公路长为千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？解：过点作交于点，连结、．∵=5，=3，=4，∴=2，在△中，=32-22=5．△中，==2，∴=2-2，∵，∴=4-4．图2.1.1答：这条公路在该免疫区内有（4-4）千米．2.2数学的客观存在的美感，在数与形的结合上表现得十分完美在数与形的关系中特别引人注目的著名的“黄金分割率”，它被世人称之为和谐性的最完美的表现.“”被誉为黄金数、神圣的比例、宇宙的美神.在日常生活中，人们习惯用“黄金分割”——审美的观念看世界.在绘画和建筑艺术中，如达·芬奇的《最后的晚餐》，埃菲尔铁塔等

5、，都用到了“黄金率”，所以，它们才有经久不衰的魅力.数学的发展使许多几何问题不再是单纯的图形研究，人们在透过形的外表，触及其内在的数量特征，探索由图形到数量的联系与规律，即“以数助形”就是将图形信息转化为代数信息，使要解决的几何问题化为数量关系来实现数形转化.3数轴的建立使形与数有机地统一12洛阳师范学院本科毕业论文把实数与数轴上的点一一对应起来，数可以视为点，点可以视为数，点在直线上的位置关系可以数量化，而数的运算（特别是有理数的运算）也可以几何化.在此基础上，笛卡尔把数轴（一维）扩展到平面直角坐标系（二维)）把有序数对与平面

6、上的点一一对应起来，从而使得平面曲线的点集与二元方程的解集一一对应起来.于是，就可以用代数方法来研究几何图形的性质，把几何研究转换成对应的代数研究从而诞生了《解析几何》学科.笛卡尔创立了解析几何学，并在数学中引入了“变量”，完成了数学史上的一项划时代的变革.为此恩格斯给予了很高的评价:“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，⋯⋯.”尽管笛卡尔的解析几何思想有着一定的局限性，但在当时是有突破性的，意义是非常重大的，其次数形结合为代数研究提供了形象模型，拓展了代数学的研究领域，从而推动了

7、数学发展的进程．恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学.”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观．可见，数学中两大研究对象“形”与“数”的矛盾的统一是数学发展的内在因素．我们从初步的数形结合来研究一下数形结合的魅力所在，在教学中的作用发挥．例3.1证明三角形的高线交于一点.分析：我们把它翻译成数学语言,用数形结合来解决就会得到这个事实证明：如图，建立直角坐标系，设：=（），=（），==，，=，=,=0图3.112洛阳师范学院本科毕业论文所以是上的高，故△的三条

8、高线交于一点.例3.2求证:分析:这个题目的证法很多，有完全是从代数角度出发的，但本题如能合理构图，利用数形结合，将很快得证.式子变形即证，故构造点到直线L:距离，显然有，得证.图3.24笛卡尔之后的数与形更进一步密切结合.例如数学分析中，导数=切线的斜率；积分