多元函数微分法及其应用

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1、第八章多元函数微分法及其应用上册研究了一元函数微分法，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部

2、分内容时，应特别注意它们的不同之处。一、教学目标与基本要求(1)理解多元函数的概念。(2)了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。(3)理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，以及全微分在近似计算中的应用。(4)理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法。(5)掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。(6)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。(7)了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并掌握它们的方程的求法。(8)理解多元函数极值的概念，会求函数的极值。了解条件

3、极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。二、教学内容及学时分配：第一节多元函数的基本概念2课时第二节偏导数1学时第三节全微分1学时第四节多元复合函数的求导法则2学时习题课2学时第五节隐函数的求导公式2学时第六节多元函数微分学的几何应用2学时第七节方向导数与梯度2学时第八节多元函数的极值及其求法2学时习题课2学时三、教学内容的重点及难点：重点：1．多元函数的极限与连续；2．偏导数的定义；全微分的定义3．多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则4．方向导数与梯度的定义5．多元函数的

4、极值与最值的求法难点：1．多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系；2．多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数；3．由方程组确定的隐函数的求导法则；1．梯度的模及方向的意义；2．条件极值的求法四、教学内容的深化和拓宽：1．多元函数微分学的几个概念的深刻背景；2．多元复合函数的求导法则的应用；3．由一个方程确定的隐函数，推广到由方程组确定的隐函数4．利用多元函数微分学的知识研究空间曲线和曲面的性质；5．将偏导数的概念推广到方向导数，并由

5、此得到梯地的概念6．利用多元函数微分学的知识研究无条件极值与条件极值。第一节多元函数的基本概念一、内容要点1．平面点集维空间2．多元函数的概念3．多元函数的极限4．多元函数的连续性二、教学要求和注意点教学要求：1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。教学注意点：多元函数的极限与一元函数极限的定义表面上看起来非常相似，但也有不同的地方，要特别提醒学生注意，一元函数的方向极限只有两个，即左极限和右极限，但多元函数的方向极限有无限多个，动点可以沿着直线

6、的方向趋于定点，也可以沿着曲线的方向趋于定点，这意味着多元函数的极限较一元函数的极限复杂得多。三、教学设计与安排时间分配：（1）平面点集和n维空间（30分钟）；（2）多元函数的定义（10分钟）；（3）多元函数的极限（40分钟）；（4）多元函数的连续性（20分钟）；说明1：把一元函数的概念推广到多元函数之前必须把多维空间的领域概念解释清楚，因为多元函数许多与一元函数不同的特殊性质是由多维空间中的领域性质决定的。往往学生自以为已经掌握了多元函数的概念，遇到实际问题还是理解不了。说明2：多元函数的极限是比较难理解的概念，要分清二

7、重极限与二次极限的区别与两者的关系。说明3：在多元函数的范围内仍有基本初等函数和初等函数的概念。四、作业同步训练习题一、平面区域首先我们来了解一下在平面区域内平面点集的知识：1、邻域：给定平面内P0（x0，y0）点，和某数>0，以P0点为圆心，为半径作圆，该圆内所有点的全体，即，称为P0点的邻域，记做：，简记；2、内点：在平面点集，存在P0的一个邻域，使得，则称P0为的内点；3、开集：平面点集内的所有点都是内点，则称点集为开集；4、边界点：在平面上，存在某个点P，在P的任何邻域内，都含有点集的点，又含有不是点集的点，则称点

8、P为点集的边界点。【注】：1、点P可以在点集内，也可以不在。2、点集中孤立在外的点，称为孤立点，规定，孤立点为边界点。3、所有边界点组成的集合称为边界。5、连通：如果点集内的任意两点都能用全属于的折线连接起来，则称为连通的。6、区域：连通的开集称为开区域，简称区域。称区域连同他的边界为闭区域。7、有界无