2.1.2 数列的递推公式(选学) 学案（人教b版必修5）

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1、2.1.2　数列的递推公式(选学)自主学习知识梳理1．通项公式与递推公式的区别与联系定义不同点相同点通项公式如果数列{an}的第n项an与项数n之间的关系可用一个函数式an＝f(n)来表示，则这个公式称为{an}的通项公式给出n的值，可求出{an}的第n项an可确定一个数列；可求出数列中任意一项递推公式如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与前一项an－1(或前几项)之间的关系可用一个公式来表示，则这个公式叫做{an}的递推公式由第一项(或前几项)的值，经过一次(或多次)运算，逐项地求出an2.由数列的递推公式求通项公式的常用方法(1)累加法：an

2、＋1＝an＋f(n)(f(n)可求和)an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)．(2)累乘法：an＋1＝an·f(n)(f(n)为含n的代数式)an＝a1···…·＝a1·f(1)·f(2)·…·f(n－1)．3．数列{an}的通项an与其前n项和Sn之间的关系是：当n＝1时，a1＝S1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.4．Sn与an的混合关系式有两个思路(1)消去Sn，转化为an的递推关系式，再求an；(2)消去an，转化为Sn的递推关系式，求出Sn后，再求an.自主探究1．已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝an

3、＋2，试用累加法推导{an}的通项公式．2．已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，试用累乘法推导{an}的通项公式．对点讲练知识点一　利用累加法求通项公式例1　已知：a1＝1，an＋1＝an＋(2n＋1)，求an.总结　形如an＋1＝an＋f(n)的递推数列，常用累加法求其通项公式，关键是不断变换递推公式中的“下标”．变式训练1　已知数列{an}，a1＝1，以后各项由an＋1＝an＋给出，试用累加法求通项公式an.(提示：＝－)．知识点二　利用累乘法求通项公式例2　已知：a1＝1，an＋1＝2n·an，求an.总结　形如an＋1＝anf(n)的递推数列，常用累乘法求其通项公式．变式

4、训练2　已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝n2an，且a1＝1，求{an}的通项公式．知识点三　由实际问题提炼出递推公式例3　某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2010年底全县的绿化率已达30%.从2011年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化．设全县面积为1,2010年底绿化面积为a1＝，经过n年绿化总面积为an＋1.求证：an＋1＝＋an.总结　在实际问题中，若题目条件给出的是相邻年份的数量关系时，可以考虑构建递推数列模型．变式训练3　在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰

5、是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰如图2，第四件首饰如图3，第五件首饰如图4，以后每件首饰都在前一件上按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，设第n件首饰所用珠宝数为f(n)，求f(n＋1)－f(n)的值．1．数列的递推公式是给出数列的另一重要形式，一般地，只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项．2．由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，是高考考查的热点，累加法、累乘法是解决这类问题的常用技巧.课时作业一、选择题1．数列{an}满足an＋1＝an＋n，且a1

6、＝1，则a5的值为(　　)A．9B．10C．11D．122．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第4项是(　　)A.B.C.D.3．已知数列{an}满足a1＝，anan－1＝an＋an－1，则这个数列的第5项是(　　)A．1B.C.D..4．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于(　　)A．－165B．－33C．－30D．－215．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，求出a2，a3，a4后，归纳猜想an的表达式为(　　)A．3n－2B．n2－2n＋2C．3n－1D．4n－3二、填空题6．数

7、列{an}中，a1＝1，an＋1an＝a＋(－1)n＋1(n∈N*)，则＝________.7．数列{an}中，a1＝3，a2＝7，当n≥1时，an＋2等于anan＋1的个位数，则该数列的第2010项是______．三、解答题8．函数f(n)＝.数列{an}的通项an＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2n)(n∈N*)．(1)求a1，a2，a4的值；(2)写出an与an－1的一个递推关系式．(注：1＋3＋5＋…(2